előadás: Vektor koordináták; skaláris add-on vektorok; kut mіzh vektorok

vektor koordináták

Ugyanebből, ahogy korábban is mondtuk, a vektorok a fülek kiegyenesedésének lánca, amelyben van egy szőrös fül és egy hegy. Mintha a fület és a végét kis pontok jelölnék, vagyis a területen, vagy a szabad térben saját koordinátáik vannak.

Ha a bőrpontnak saját koordinátája van, akkor az integrálvektor koordinátáit elvethetjük.

Állítólag van egy kis vektor, a vektor bármely füléhez és végéhez vannak ilyen értékek és koordináták: A (A x; Ay) és B (B x; By)

Az adott vektor koordinátáinak korrigálásához a vektor végének koordinátáiból ki kell olvasni a csutka koordinátáit:

A nyílt térben lévő vektor koordinátáinak értékéhez haladjon gyorsabban a támadó képlettel:

Skaláris add-on vektorok

Kétféleképpen képzelhetjük el a skaláris létrehozás megértését:

Geometriai módszer. Itt mögötte egy skaláris kiegészítés az adott modulusok koszinuszonkénti értékeinek összeadásához közéjük vágva.

Algebrai érzék. Az algebra szempontjából a skaláris addon kétvektoros - egy olyan érték, amely az összes vektor add-on összegének eredményébe kerül.

Ha a vektorok a nyílt térben vannak beállítva, akkor a sebesség hasonló lesz a képlethez:

erő:

Ha két azonos vektort skalárosan megszoroz, akkor a skaláris összeadás nem lesz negatív:

Ha két azonos vektorból álló skaláris addon nullával egyenlő, akkor a vektorokat nullaként kell megadni:

Ha egy jó vektort megszorozunk önmagával, akkor a skaláris összeadás egyenlő a modul négyzetével:

A skalár TV nem elég erős, így a vektorok permutációja a skalár TV-ben nem változik:

A nem nulla vektorok skaláris twirje csak abban az esetben lehet nulla, ha a vektorok merőlegesek egy az egyhez:

Vektorok skaláris létrehozásához a helyes eltolási törvény számonként egy z vektor többszörösével egyenlő:

A skaláralkotás esetében így lehet győztes a multiplicitás eloszlási ereje:

Coot mіzh vektorok

1. érték

A skaláris add-on vektorok olyan számok, amelyek több din vektort adhatnak a köztük lévő vágás koszinuszához.

Kijelölt vektorok létrehozása a → і b → ma viglyad a →, b →. Képletre alakítható:

a →, b → = a → b → cos a →, b → ^. a → і b → jelöl néhány vektort, a →, b → ^ jelöl egy kutát adott vektorok között. Ha van egy nulla vektor, amely egyenlő 0-val, akkor az eredmény nulla lesz, a →, b → = 0

Magán a vektorok sokaságával következtethetünk a dini négyzetére:

a →, b → = a → b → cos a →, a → ^ = a → 2 cos 0 = a → 2

2. érték

Egy vektor skaláris szorzatát önmagán skalárnégyzetnek nevezzük.

Képlettel számolva:

a →, b → = a → b → cos a →, b → ^.

Rögzítse a →, b → = a → b → cos a →, b → ^ = a → b →, npa → a → b → vetülete a →-re.

A create értékét két vektorra fogom megfogalmazni:

Két vektor skaláris összeadása a → b-n → az a vektor síkját a → vetületen b → az a → egyenesen vagy a TV-t a b → a vetítésen → a vetületen.

Skaláris tvir koordinátákban

A skalárképzés számítása elvégezhető a vektorok koordinátáin keresztül egy adott területen vagy térben.

Egy területen, triviális térben lévő két vektorból álló skaláris testet az a → і b → vektorok koordinátáinak összegének nevezzük.

Az adott vektorok a → = (a x, a y), b → = (b x, b y) skaláris létrehozásának területére számítva a Descartes-rendszerben a vikorista érték:

a →, b → = a x b x + a y b y,

triviális térhez egy viraz ragadhat:

a →, b → = a x b x + a y b y + a z b z.

Valójában a skaláris létrehozás harmadik értékei.

Mi hozzuk a tse-t.

bizonyíték 1

Vikoriszt a →, b → = a → b → cos a →, b → ^ = ax bx + ay by bizonyítására az a → = (ax, ay), b → = (bx, by) vektorokra a Descartes-rendszeren.

Csúsztassa el a vektort

O A → = a → = a x, a y і O B → = b → = b x, b y.

Todi további vektor A B → dorіvnyuvatime A B → = O B → - O A → = b → - a → = (b x - a x, b y - a y).

Tricikli O A B.

A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 · O A · O B

A mosás mögött látható, hogy OA = a →, OB = b →, AB = b → - a →, ∠ AOB = a →, b → ^, jelentése, felírható a kuta jelentésének képlete vektorokkal le-

b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 a → b → cos (a →, b → ^).

Todi a vaping első értékéből, uho b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 (a →, b →), jelentése (a →, b →) = 1 2 (a → 2 + b → 2 - b → - a → 2).

Ha ragaszkodunk a több vektor kiszámításához szükséges képlethez, felismerjük:
a →, b → = 1 2 ((a 2 x + ay 2) 2 + (b 2 x + x 2) 2 - ((bx - ax) 2 + (by - ay) 2) 2) = = 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (bx - ax) 2 - (by - ay) 2) = = ax bx + ay by

A lelkesedés tanúsítja:

(A →, b →) = a → b → cos (a →, b → ^) = = a x b x + a y b y + a z b z

- triviális térbeli vektorokhoz alkalmas.

A koordinátákkal rendelkező skaláris add-on vektorok ezekről beszélnek, de egy vektor skaláris négyzete a térben és egy négyzeten lévő négyzetkoordináták összege. a → = (a x, a y, a z), b → = (b x, b y, b z) і (a →, a →) = a x 2 + a y 2.

Skalár tvіr і th teljesítmény

A skaláris létrehozás erejének érzékelése, mint a sztázis a →, b → і c → esetén:

kommutativitás (a →, b →) = (b →, a →);
disztributivitás (a → + b →, c →) = (a →, c →) + (b →, c →), (a → + b →, c →) = (a →, b →) + (a → , c →);
kombinált hatvány (λ a →, b →) = λ (a →, b →), (a →, λ b →) = λ (a →, b →), λ egy szám;
skalárnégyzet nagyobb nullánál (a →, a →) ≥ 0, de (a →, a →) = 0 ugyanúgy, ha a → nulla.

fenék 1

A hatvány magyarázható a terület skaláris létrehozásának értékével, valamint adott és többszörös valós számok hatványával.

Hozd a kommutativitás hatványát (a →, b →) = (b →, a →). A maєmo értéke (a →, b →) = a y b y + a y b y і (b →, a →) = b x a x + b y a y.

Az egyenlőség kommutativitási ereje szerint a x b x = b x a x і a y b y = b y a y вірні, azaz a x b x + a y b y = b x a x + b y a y.

, (A →, b →) = (b →, a →). Fel kell hozni.

Az elosztás bármely számra érvényes:

(A (1) → + a (2) → + ... + A (n) →, b →) = (a (1) →, b →) + (a (2) →, b →) +. ... ... + (A (n) →, b →)

і (a →, b (1) → + b (2) → + ... + b (n) →) = (a →, b (1) →) + (a →, b (2) →) + ... ... ... + (A →, b → (n)),

zvidsi maєmo

(A (1) → + a (2) → + ... + A (n) →, b (1) → + b (2) → + ... + B (m) →) = (a ( 1) ) →, b (1) →) + (a (1) →, b (2) →) +. ... ... + (A (1) →, b (m) →) + + (a (2) →, b (1) →) + (a (2) →, b (2) →) +. ... ... + (A (2) →, b (m) →) +. ... ... + + (A (n) →, b (1) →) + (a (n) →, b (2) →) +. ... ... + (A (n) →, b (m) →)

Skalárcsavar dugókkal és szerelvényekkel

Legyen olyan, mint zavdannya egy ilyen terv, hogy ellenálljon az erő és a képletek pangásából, de érezze a skaláris teremtést:

(A →, b →) = a → b → cos (a →, b → ^);
(A →, b →) = a → n p a → b → = b → n p b → a →;
(A →, b →) = a x b x + a y b y vagy egyébként (a →, b →) = a x b x + a y b y + a z b z;
(A →, a →) = a → 2.

Tiszta deyakі fel a virіshennya.

fenék 2

Dovzhina a → dorіvnyuє 3, dovzhina b → dorіvnyuє 7. Ismerje skalár dobutok, yaksho kut maє 60 fok.

Döntés

Az összes ajándék elméjére ez a képlethez van számozva:

(A →, b →) = a → b → cos (a →, b → ^) = 3 7 cos 60 ° = 3 7 1 2 = 21 2

Nézet: (a →, b →) = 21 2.

fenék 3

Adott egy vektor a → = (1, - 1, 2 - 3), b → = (0, 2, 2 + 3). Mi a teendő a skalár tv-vel.

Döntés

Ebben az alkalmazásban a koordináták kiszámításának képletét nézik meg, mivel a bűz a gyári fejben van megadva:

(A →, b →) = ax bx + ay by + az bz = = 1 0 + (- 1) 2 + (2 + 3) (2 + 3) = = 0 - 2 + (2 - 9) = - 9

Nézet: (a →, b →) = - 9

fenék 4

Ismerje meg az A B → і A C → skaláris kiegészítést. Az A (1, - 3), B (5, 4), C (1, 1) pontok a koordinátaterületen vannak megadva.

Döntés

A csutka esetében a vektorok koordinátáit kiszámítjuk, így a pontok koordinátái a nyelő mögött vannak megadva:

A B → = (5 - 1, 4 - (- 3)) = (4, 7) A C → = (1 - 1, 1 - (- 3)) = (0, 4)

Ha beírtuk a képletet a koordináták koordinátáival, láthatjuk:

(A B →, A C →) = 4 0 + 7 4 = 0 + 28 = 28.

Nézet: (A B →, A C →) = 28.

fenék 5

Állítsa be az a → = 7 m → + 3 n → і b → = 5 m → + 8 n → vektort, tudjon їх add. m → ajtók 3 és n → 2 egység, bűz merőleges.

Döntés

(A →, b →) = (7 m → + 3 n →, 5 m → + 8 n →). Miután megszállottá vált az elosztóképesség hatalma iránt, felismerjük:

(7 m → + 3 n →, 5 m → + 8 n →) = = (7 m →, 5 m →) + (7 m →, 8 n →) + (3 n →, 5 m →) + ( 3 n →, 8 n →)

Vinosimo kofіtsієnt a teremtés és і otrimaєmo jeléhez:

(7 m →, 5 m →) + (7 m →, 8 n →) + (3 n →, 5 m →) + (3 n →, 8 n →) = = 7 5 (m →, m →) + 7 8 (m →, n →) + 3 5 (n →, m →) + 3 8 (n →, n →) = = 35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (n →, m →) + 24 (n →, n →)

A kommutativitás ereje szerint rekonstruálható:

35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (n →, m →) + 24 (n →, n →) = 35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (m →, n →) + 24 (n →, n →) = 35 (m →, m →) + 71 (m →, n → ) + 24 (n →, n →)

Ennek eredményeként képesek vagyunk:

(A →, b →) = 35 (m →, m →) + 71 (m →, n →) + 24 (n →, n →).

Most a skalár létrehozásának képlete a mosogató mögött van beállítva:

(A →, b →) = 35 (m →, m →) + 71 (m →, n →) + 24 (n →, n →) = = 35 m → 2 + 71 m → n → cos (m → , n → ^) + 24 n → 2 = = 35 3 2 + 71 3 2 cos π 2 + 24 2 2 = 411.

Nézet: (a →, b →) = 411

Yaksho є numerikus vetítés.

fenék 6

Ismerje meg az a → і b → skaláris kiegészítést. A vektor a → maє koordinátái a → = (9, 3, - 3), b → vetület koordinátákkal (- 3, - 1, 1).

Döntés

A mosóvektor mögött a → і b → vetítés egyértelmű, tehát a → = soronként - 1 3

n p a → b → → = - n p a → b → → = - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 = - 11,

A képletnek alávetve kivesszük a virazt:

(A →, b →) = a → n p a → b → → = 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 (- 11) = - 33.

Nézet: (a →, b →) = - 33.

Virtuális skalár létrehozása esetén egy vektor összegét, vagy egy numerikus vetületet kell megjeleníteni.

fenék 7

Egy adott skalár létrehozásához a → = (1, 0, λ + 1) і b → = (λ, 1, λ) egyenlő lesz -1-gyel.

Döntés

A képlet megmutatja, hogy ismerni kell a koordináták lényeinek összegét:

(A →, b →) = 1 λ + 0 1 + (λ + 1) λ = λ 2 + 2 λ.

Adott maєmo (a →, b →) = - 1.

A λ megismeréséhez a következővel számítjuk ki:

λ 2 + 2 λ = - 1, csillagok λ = - 1.

Nézet: λ = - 1.

A skalárteremtés fizikai érzéke

A skalárképző kiegészítők vizsgálatának mechanikája.

Amikor az A robot állandó F erejű → csak az M pontból N pontba mozog, akkor két F → és M N → vektor twir-je ismerhető meg a köztük lévő vágás koszinuszával, ami azt jelenti, hogy a robot további erő- és változásvektorokat adott hozzá:

A = (F →, M N →).

fenék 8

Az anyagi pontnak az erő irányától számított 3 méterrel vagy 5 Newtonnal egyenlő áthelyezése a tengelyhez képest 45 fokos irány felé irányul. Ismerje meg A.

Döntés

Tehát mint egy robot - az elmozdulás erővektorának középpontja, ami azt jelenti, hogy az F → = 5, S → = 3, (F →, S → ^) = 45 ° mozgatása során elfogadhatjuk A = (F →, S →) = F → S → cos (F →, S → ^) = 5 3 cos (45 °) = 15 2 + 2.

Például: A = 15 2 + 2.

fenék 9

Az F → = (3, 1, 2) erő hatására M (2, - 1, - 3)-ból N (5, 3 λ - 2, 4) pontba mozgó anyagi pont a robotot 13 J-re tette. a változás mértéke.

Döntés

Adott az M N → maєmo M N → = (5 - 2, 3 λ - 2 - (- 1), 4 - (- 3)) = (3, 3 λ - 1, 7) vektor koordinátái.

Az F → = (3, 1, 2) і MN → = (3, 3 λ - 1, 7) vektorú robotok értékének képletéhez levezethetjük mo A = (F ⇒, MN →) = 3 3 + 1 3 λ - 1) + 2 7 = 22 + 3 λ.

Mosásra adott, uho A = 13 J, azaz 22 + 3 λ = 13. Vidsi λ = - 3, azaz і MN → = (3, 3 λ - 1, 7) = (3, - 10, 7) ...

Az M N → közötti különbség megismeréséhez van egy képlet és egy látszólag értelmes érték:

M N → = 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 = 158.

Amint észrevettünk egy elnézést a szövegben, légy menyét, nézd meg és nyomd meg a Ctrl + Enter

A vektor nem és a skalár tvir lehetővé teszi a qut egyszerű felsorolását vektorokkal. Adjunk két vektort $ \ overline (a) $ і $ \ overline (b) $, ugyanazon utak között $ \ varphi $ sorrendben. Számérték $ x = (\ overline (a), \ overline (b)) $ і $ y = [\ overline (a), \ overline (b)] $. Todі $ x = r \ cos \ varphi $, $ y = r \ sin \ varphi $, de $ r = | \ overline (a) | \ cdot | \ overline (b) | $, és $ \ varphi $ egy shukaniy kut, vagyis a $ (x, y) $ pont egy sarki kut, pivniy $ \ varphi $, і is, a $ \ varphi $ atan2 (y) néven ismert , x).

Tricot férfi terület

Egy vektor oszcillációi két két vektorba helyezhetők a köztük lévő koszinuszra, majd a vektorral kiszámítható az ABC tricikli területe:

$ S_ (ABC) = \ frac (1) (2) | [\ overline (AB), \ overline (AC)] | $.

Az egyenesek pontjának síksága

Nos, adott egy $ P $ і egy $ AB $ egyenes (két pont $ A $ і $ B $ alapján). Újra kell konfigurálni a $ AB $ egyenes pont relevanciáját.

Egy pont egy egyenes $ AB $ todі és csak todі, ha a $ AP $ і $ AB $ vektorok kollineárisak, tehát ha $ [\ overline (AP), \ overline (AB)] = 0 $.

A cserepont konzisztenciája

Legyen megadva a $ P $ pont és a $ AB $ promin (kétpontos feladatok - a $ A $ csőcsere és a $ B $ promin pontja). Át kell gondolni a $ AB $ cserepont relevanciáját.

Mielőtt a $ P $ pont a $ AB $ egyeneshez tartozna, a $ AP $ і $ AB $ együttirányú vektorokat hozzá kell adni a $ P $ ponthoz, hogy a kollineáris és їх skaláris tvir büdös legyen nemnegatív, így $ (\ overline (AB), \ overline (AP)) \ ge 0 $.

A pont megbízhatósága az

Legyen megadva a $ P $ és $ AB $ pont. Újra meg kell erősíteni, hogy a pont kapcsolódik-e a $ AB $-hoz.

Mindenesetre a lényeg a hibás mind a $ AB $, mind a $ BA $ cserében, ezért át kell gondolni a lépéseket:

$ [\ Overline (AP), \ Overline (AB)] = 0 $,

$ (\ Overline (AB), \ overline (AP)) \ ge 0 $,

$ (\ Overline (BA), \ overline (BP)) \ ge 0 $.

Menj pontból egyenesbe

Nos, adott egy $ P $ і egy $ AB $ egyenes (két pont $ A $ і $ B $ alapján). Tudnia kell, hol van az egyenes pont $ AB $.

Könnyen leolvasható tricikli ABP. Az egyik oldalon, a másik oldalon az út $ S_ (ABP) = \ frac (1) (2) | [\ overline (AB), \ overline (AP)] | $.

A másik oldalon, az út túloldalán $ S_ (ABP) = \ frac (1) (2) h | AB | $, de $ h $ a magasság, a $ P $ pontról leesve, így $ P $-ról $ AB $-ra. Csillagok $ h = | [\ overline (AB), \ overline (AP)] | / | AB | $.

Kilátás pontról cserére

Legyen megadva a $ P $ pont és a $ AB $ promin (kétpontos feladatok - a $ A $ csőcsere és a $ B $ promin pontja). A csere előtti ponttól kell tudni, hogy a $ P $ ponttól a legrövidebb ponttól a csere pontig.

Az ár az útra vagy a $ AP $-ra megy, vagy a $ P $ ponttól az egyenes $ AB $ felé. Könnyű megtalálni a módját, hogy pontokat váltsanak egymásnak. Ha van egy PAB gostry, tobto $ (\ overline (AB), \ overline (AP))> 0 $, akkor a $ P $ ponttól a $ AB $ egyenesig fog látni, és látni fogja, ha látni fogja. $ AB $.

A ponttól a kijáratig

Legyen megadva a $ P $ és $ AB $ pont. Tudnia kell, hogy mi az a $ P $, mielőtt megjelenik az $ AB $.

Ha a merőleges alapja $ P $-ról esett le az egyenesen $ AB $, akkor $ AB $-ra költhető, így meggondolhatja magát

$ (\ Overline (AP), \ overline (AB)) \ ge 0 $,

$ (\ Overline (BP), \ overline (BA)) \ ge 0 $,

akkor a $ P $ ponttól a $ AB $ egyenesig fog látni. Kérjük, adjon hozzá $ \ min (AP, BP) $.

Ez egy önálló megoldás zavdannya lesz, ameddig elcsodálkozhat a kilátásban.

Amint a feladatokban és a vektorok fejlesztésében, és egy ezüsttálcán közöttük, a következőképpen fogok gondolni a feladatokról, megoldásokról:

1. fenék. Adott egy vektor. Ismerje meg a vektorok skaláris kiegészítését, ahol ezeket a következő értékek képviselik:

Meglehetősen és kisebb értékű, egyenlőbb, mint az 1. érték.

2. érték... A vektorok skaláris addonja egy szám (skalár), amely a vektorok számának egyikének az összeadása az első vektornak a vektor tetejére vetületében, amely az értékes vektorok közül az első legyen. . A képlet a 2-es értékeken alapul:

A képlet zasosuvannya iránti elfoglaltsága virіshimo egy sértő, fontos elméleti pont miatt.

A skalár értéke vektorokat hoz létre koordinátákban

Ugyanaz a szám levágható, mivel a koordinátáik által megadott vektorok szorozódnak.

3. érték. A vektorok skaláris összeadása az egész szám, mivel az adott koordináták páronkénti létrehozásának összege.

A területen

Csak két vektor, és a területen a saját kettőjükkel Derékszögű derékszögű koordináták

majd az egyes koordinátákban lévő párosított alkotások útösszegében szereplő vektorok számának skaláris összeadása:

2. fenék. Ismerje a vektor vetületének a tengelyre, a vektorral párhuzamos számértékét.

Döntés. Ismert skaláris add-on vektorok, tároló páronként їх koordinátákat hoz létre:

Most egy skalár TV-kiegészítést kell készítenünk a vektor vetületéhez a függőleges tengelyen, párhuzamosan a vektorral (a képlet szerint).

Ismeretes, hogy a vektor a négyzet koordináták összegének négyzetgyöke:

Raktár і virіshuєmo yogo:

Kilátás. Shukana számértéke mínusz 8-hoz.

A nyílt térben

Két vektor van, és a térben saját három derékszögű derékszögű koordinátájuk van

akkor a cich vektorok skaláris kiegészítése is párosított lények és cf koordináták összege, csak három koordináta:

Zavdannya a skalárteremtés ismeretére jól kivehető módon - a skaláralkotás képességeinek megválasztásával. Ehhez a gyárban számos vektor szükséges.

Skaláris add-on vektorok ereje

algebrai hatvány

1. (átruházható teljesítmény: Ne feledje kis számban, szorozzuk meg a vektorok értékét a skalár létrehozása nem változik).

2. (egy numerikus szorzóhatvány kombinatív lépése: Egy vektor skaláris twirje, szorozva egy tényezővel, és a qix vektorok skaláris összeadása, szorozva ugyanazzal a szorzóval).

3. (rozpodilchiy shodo sumi vektor hatalomban: Skaláris add-on két vektor összege a harmadik vektorhoz, az első vektor skaláris létrehozásának útösszege a harmadik vektorhoz és egy másik vektor a harmadik vektorhoz).

4. (nullánál nagyobb vektor skalárnégyzete), Ahol egy nem nulla vektor, i, ahol egy nulla vektor.

geometriai erők

A lomha előtti műveletek vizualizálásában a kuta figuráját két vektorral is körbebökték. Ideje tisztázni a megértés lényegét.

Két vektor látható a kicsin; Először is nagy tiszteletet kell tenni: a vektorok közepén futni két kuta - φ 1 і φ 2 ... Yaky z tsikh kutiv figuru a skalár értékében és erejében vektorokat hoz létre? Suma razglyanutih kutіv dorіvnyu 2 π és ehhez a koszinuszok cich kutіv pіvnі. A skaláris létrehozás értéke csak a vágás koszinuszát tartalmazza, a csavarás értékét nem. Csak egy kut látható a hatóságok számára. I tseto z két kutiv, amin nem változtatok π , Tobto 180 fok. Egy kis tsei kut jelentése jak φ 1 .

1. Két vektort nevezünk ortogonális і kut mіzh qimi vektorok - egyenes (90 fok felett π / 2), yaksho skaláris add-on cich vektorokat nullára :

A vektoralgebrában az ortogonális két vektor merőlegessége.

2. Két nem nulla vektor lesz gostry kut (0 és 90 fok között, vagy kevesebb π skalár dobutk pozitívan .

3. Két nem nulla vektor lesz hülye kut (90-180 fok, vagy akár ugyanaz - több π / 2) todі és csak todі, ha їх skalár dobutok negatívan .

3. fenék. Az adatok koordinátái vektorok:

Számolja meg az adott vektorok összes párjának skaláris létrehozását. Yakiy kut (gostry, egyenes, hülye) felállította a vektorok árát?

Döntés. A megadott koordináták alkotásait hajtogatással számoljuk ki.

Otrima negatív szám, a vektorhoz meg egy hülye kut.

Pozitív számot adtunk, így a vektor gostry kut-ra van állítva.

A nulla el van állítva, tehát a vektor egyenes kut.

Pozitív számot adtunk, így a vektor gostry kut-ra van állítva.

Az ön-ellenőrzés, akkor vikoristovuvati online számológép Scalar add-on vektorok és koszinusz kuta közöttük .

4. fenék. Adott két vektor, és vágja el őket:

Vizuálisan egy adott szám esetén a vektorok merőlegesek (merőlegesek).

Döntés. A vektorokat megszorozzuk a polinomiális szorzási szabállyal:

Most a dermális dodanok számozott:

Raktári szint (nullával egyenlő), néhány tag és a szüzesség által irányítva:

Javaslat: megtagadtuk az értéket λ = 1,8, amelyre a vektor ortogonális.

5. fenék. Hozd, scho vektor merőleges a vektorra

Döntés. Az ortogonalitás újragondolásához a vektorokat és a polinomokat megszorozzuk;

Az első polinom dermális tagjához (dodanok) szorozzuk meg a másik dermális tagjával, és hozzuk létre a csontokat:

Az eldobott eredményekben a rakhunok csepegtetése felgyorsul. Kövesse a támadó eredményt:

Viznovok: ennek eredményeként sok nullát eltávolítottak, és a vektorok ortogonalitása (merőlegessége) került elő.

Vedd önállóan a feladatot, majd csodáld meg a megoldást

6. fenék. Adott dozhini vektorok і, a kut mіzh qimi vektorok π / 4. Láthatóság, bármilyen értékre μ vektorok és egymásra merőlegesek.

Az ön-ellenőrzés, akkor vikoristovuvati online számológép Scalar add-on vektorok és koszinusz kuta közöttük .

Skaláris kreációs vektorok mátrixos bemutatása és tvir n-dimenziós vektorokban

Bizonyos esetekben kettő megjelenítése céljából szorozza meg a vektorokat a mátrix nézetben. Az egyik a reprezentációk első vektora a mátrixsor nézetében, a másik pedig a mátrixsor nézetében:

Todi skaláris add-on vektorok bude-ban tsich mátrix :

Az eredmény ugyanaz, és ugyanúgy, mintha már megnézték volna. Kivettünk egy számot, és mátrix-százonként egy mátrixsor csavarját, szintén є egyetlen számot.

Mátrix formában kézzel ábrázolja az absztrakt n-dimenziós vektorok halmazát. Tehát a kétdimenziós vektorok twirje egy mátrixsor létrehozása a mátrixon lévő elemekkel - 100%, valamint az elemek kiválasztásával, két világvektor twirja - egy mátrixsor létrehozása öt elemmel a mátrixelemeken, tehát ...

7. fenék. Ismerje meg a skalárt, hogy vektorpárokat hozzon létre

vikoristovuchi mátrix megnyilvánulása.

Döntés. Az első vektorpár. Az első vektor a mátrixsor nézetében van ábrázolva, a másik pedig a mátrixsor nézetében. Ismeretes, hogy a cich-vektorok skaláris addonja egy mátrix-sor yak-hozzáadása egy mátrix-száz ponthoz:

Hasonlóképpen, egy párt bemutatnak egy barátnak, és ez ismert:

Yak bachimo, az eredmények ugyanazok voltak, mint a csendes gőzben a 2-es csikk mellett.

Kut mіzh dvoma vektorok

A kuta m_zh koszinusz képletének két vektorral való megrajzolása még keményebb és lakonikus.

Schob vislovity skaláris add-on vektorok

(1)

koordináta alakban, előtte skalár tvir ortokat ismerünk. Egy vektor skaláris kiegészítése önmagán értékekhez:

A vishche képletbe írottak jelentése: önmagán lévő vektor skaláris összeadása egy vektor négyzetéhez... A nulla koszinusza egy, tehát a bőr ort négyzete egy lesz:

Szóval jak vektor

páronként merőlegesen, majd hozzon létre páronkénti ortokat nullára:

Jelenleg sok vektorpolinom létezik:

Pidstavlyaєmo az ortok összes skaláris alkotása értékének egyenlőségének jobb részében:

A kuta koszinuszának képletét két vektorral ismerhetjük fel:

8. fenék. Adott három pont A(1;1;1), B(2;2;1), C(2;1;2).

Ismerje meg a kut.

Döntés. Ismerjük a vektorok koordinátáit:

A kuta koszinusz képletéhez a következőket fogjuk tenni:

Otzhe ,.

Az ön-ellenőrzés, akkor vikoristovuvati online számológép Scalar add-on vektorok és koszinusz kuta közöttük .

9. fenék. Adott két vektor

Ismerje meg az összeget, az árat, az ételt, a skaláris csavart és a köztük lévő vágást.

2.Különbség

Skaláris add-on vektorok

Továbbra is válogatom a vektorokat. Az első szinten Vektori teáskannákhoz megnéztük a vektor megértését, a vektorokkal, a vektor koordinátáival, és a legegyszerűbb módot a vektorokkal. Amint a nap végére értünk először a poshukachból, erősen ajánlom, hogy olvassa el a cikk bevezetőjét; Dániában egy lecke a logikus haladást szolgálja azok számára, akik egy új jelentéshez kiválasztják a személyzet típusait, amelyekben kiválasztják a vektorok skaláris összeadását. Tse DUZHE VAZHLIVE elfoglalt... Lehetőleg ne hagyd ki a csikkeket, a fahéj bónusz eléri őket – a gyakorlat segít az anyag áthaladásának biztosítására, és az analitikus geometria legújabb, kibővített alkotásaira "megtölteni a kezed".

Vektorok összege, vektor szorzása egy számmal .... Bulo b naivnim úgy gondolja, hogy nem a matematikusok találták ki. Krim már látott számos más műveletet vektorokkal, és saját magát is: skaláris add-on vektorok, vektor dobutok vektorokі mishaniy dobutok vektorok... A skalárvektorokat az iskolákból ismerjük, a kettőt hagyományosan a felsőbb matematika kurzusára alkalmazzák. A kínosak számára a sablonok és a közönség generálására szolgáló algoritmus. Étkezzen. Az információ tisztességes, így nem szükséges az ALL I VIDRAZU elsajátítása és megoldása. Főleg a teáskannák hajlamosak rá, viszont a szerző nem akarja Chikatilót látni a matematikában. Na jó, nem matematikából, nyilván, azaz =) A tanulók nagyobb felkészültsége lendületessé teheti az anyagokat, jelen esetben a napközis tudásból „kaphat”, neked egy unalmas Drakula gróf leszek =)

Amikor két vektor létrehoz egyet...

A skaláris érték létrehozása vektorok.
A skaláris teremtés ereje. Typovi zavdannya

A skaláris létrehozás megértése

egy kicsit kb kut mіzh vektorok... Úgy gondolom, hogy minden intuitív módon intelligens, de vektorokkal is, és többet mindenféle jelentésről. Látható nem nulla vektorok i. Amint meglátja a vektort az aktuális pontból, megjelenik egy kép, valamint néhány ötlet már bemutatásra került:

Tisztában vagyok, itt csak az ész szintjén vagyok tisztában a helyzettel. Amennyire kell, hogy egy szuvore vektoros kutát tervezzen, menyét legyen, brutalizálják, de a gyakorlatiasoknak ez elvileg nem lesz. Hasonlóképpen, a HERE I DALI I egy kis gyakorlati jelentősége révén a nulla vektorok tudatlanságának felvillanása lesz. Figyelmeztetés zrobiv kifejezetten turkálni az oldalon, mert felbukkanhat az elméleti nézeteltérés a támadó tverdzhen.

Az érték 0 és 180 fok között vehető (0-tól radiánig) beleértve. Analitikailag tény, hogy az alárendelt szabálytalanságok őrzője rögzíti:

abo

(Radiánban).

Az irodalomban a kuta ikont gyakran kihagyják, és könnyű írni.

érték: Két vektor skaláris addonját SZÁM-nak nevezzük, ami a két vektor további összeadása a közöttük lévő koszinuszvágásonként:

A központi tengely tengelye már tele van suvore értékkel.

Accentumo tisztelet a sutta információkért:

kijelölés: skaláris add-on abo simple segítségével jelölhető.

A művelet eredménye є NUMBER: Adjon hozzá egy vektort a vektorhoz, és írjon be egy számot. Bizony, ha még a vektorok is számok, a koszinusz kuta egy szám, akkor їх tvir lehet egy szám.

Néhány popsi edzés egyszerre:

fenék 1

Döntés: Vikor képlete ... Ebben a vipadkuban:

alábbiak szerint:

A koszinusz értéke megtalálható a trigonometrikus táblázatok... A її razdrukuvati-t ajánlom - praktikusnak kell lennie a cseresznye minden eloszlásához, és ha szükséges, bőségesen fejleszteni kell.

Pusztán matematikai szempontból a skalártévé észrevehetetlen, így az eredmény ebben az esetben csak egy szám és minden. A fizika fejlődése szempontjából a skalártévé az eredeti fizikai változástól függ, így az eredményhez szükséges a megfelelő fizikai mértékegység megadása. Bármely kézben megtalálható egy kanonikus farpofa roboterővel (a képlet pontosan skaláris tvir). A robot kénytelen volt Joule-ban szimulálni, így konkrétan írható pl.

fenék 2

Ismerd meg yakshot , És kut mіzh vektorok dorіvnyuє.

Tse popsi egy önálló megoldáshoz, a lecke végén látható.

A Kut mіzh vektorok a skaláris létrehozásának értékei

Az 1. pontban a skalár tv pozitív volt, a 2. példában pedig negatív volt. Z'yasuєmo, amelyből le lehet rakni a skaláris teremtés jelét. Kíváncsi a képletünkre: ... Ha a nem nulla vektorok száma pozitív, akkor az előjel csak a koszinusz értékben található.

Jegyzet: A jobb áttekinthetőség érdekében az alacsonyabb információ jobb, mint a koszinusz grafikonja a képzési kézikönyvben Grafikonok és hatványfüggvények... Lepje meg, hogyan jelenik meg a koszinusz.

A jak már úgy értendő, hogy a vektorok közötti kut a határokon változhat , Esetleges esés esetén:

1) Yaksho kut mіzh vektorok gostry: (0 és 90 fok között), majd , і skaláris dobut pozitív lesz társirányítás A köztük lévő kut nulla, és a skaláris összeadás is pozitív lesz. Oskіlki, a képlet a búcsú :.

2) Yaksho kut mіzh vektorok hülye: (90-180 fok), majd és nyilvánvalóan skalár dobutok negatívan:. Egy speciális vipadok: yaksho vektor kiegyenesedett protolezhno, Hogy kut mіzh őket vvazhaєtsya égetlen: (180 fok). A skaláris twir lehet negatív, tehát jak

Chi fair és énekes cég:

1) Yaksho, majd kut m_zh adott gostry vektorokkal. Jak variáns, társirányú vektorok.

2) Yakscho, majd kut mіzh adott vektorok hülyeségek. Jak változat, a vektorok egyenesek.

Ale különleges érdeklődés a harmadik típus:

3) Yaksho kut mіzh vektorok egyenes: (90 fok), majd i skaláris kiegészítés nullára:. Zvorotne is igaz: akkor igen. A tömör megszilárdulás a következőképpen készül: Skaláris add-on két vektor nullára... Egy rövid matematikai jelölés:

! jegyzet : megismételhető a matematikai logika alapjai: A logikai ragaszkodás kétoldalas ikonja, hogy „todi és tilki todi”, „így és csak úgy” olvasható. Yak bach, a lövöldözősök a támadó oldalakra állnak - "egy italra, és vissza - majd, tovább." A beszéd előtt ki az egyoldalú jele a szakasznak? tokhal ikon, csak azok Ez nem tény, de nagyon igazságos. Például: ez nem egy sovány állat є egy párduc, tehát ebben a vypadkuban nem választhat jelvényt. Ugyanabban az órában változtassa meg az ikont lehetséges, lehetséges vikoristovuvati egyoldalú ikon. Például virishuchi zavdannya, mi z'yasuvali, scho és crumbled, scho a vektorok ortogonálisak: - egy ilyen rekord helyes lesz, és navіt több előre folyó, nіzh .

A harmadik típus nagy gyakorlati jelentőséggel bír, Oskіlki lehetővé teszik a változtatást, az ortogonális vektorok chi nі. A mi virishimo problémát a lecke másik részében ismertetem.

A skaláris teremtés ereje

Térjünk rá a helyzetre, ha két vektor van társirányítás... A köztük lévő vágások széles tartományában nulla van, és a skalár létrehozásának képlete a szembe van beépítve:.

És mi van, ha a vektort megszorozzuk önmagával? Ki van nagyítva, de az együttirányító vektor önmagában van, tehát maró hatású az említett egyszerűsített képletre:

hívandó szám skaláris négyzet vektor, engem jaknak hívnak.

Ilyen rangban, a vektor skaláris négyzete az adott vektor négyzetéhez:

Emiatt a vektor dzsinnjéig levezethető a számítási képlet:

Hagyd, hogy épüljön alacsony intelligenciával, a lecke, hogy tegyen mindent a maga helyére. A projekt felülvizsgálatához is szükségünk lesz a skaláris teremtés ereje.

Jó vektorokra és bármilyen számra a következő hatványok igazak:

1) - mozgó abo kommutatív a skalárteremtés törvénye.

2) - rozpodilny abo terjesztés a skalárteremtés törvénye. Egyszerűen kinyithatod a karokat.

3) - asszociatív abo asszociációs a skalárteremtés törvénye. A konstans a skaláris létrehozásának tudható be.

Leggyakrabban minden hatalom (mint hogy a kereslet!) A diákok aludni, mint egy indokolatlan foltos, ami nem szükséges, hogy vizuálisan és azonnal küldje el az alvás is. Nos, ki itt fontos, minden olyan első osztályú, hogy tudjuk, hogy a szorzópermutációkban nincs változás. Őrzésben vagyok vétkem, matematika esetén megfelelő megközelítéssel könnyű a tűzifát szedni. Így például az átruházható hatalom nem tisztességes algebrai mátrixok... számára lehetetlen vektor dobutku vektorok... Ehhez az erő erejében, ahogy a nagy matematika során megtanulod, minimum szebben, több intelligencia, lehet robotolni, de amit nem.

fenék 3

Döntés: S'yasuєmo helyzetek gyűjteménye vektorral. Mit keresel? A vektorok összege egy teljes énekvektor, ami azt jelenti, hogy át. A vektorok geometriai értelmezése vektorokkal megtalálható a statisztikákban Vektori teáskannákhoz... Ugyanaz a petrezselyem vektorral a vektor ára.

Otzhe, az elme mögött ismerni kell a skaláris összeadást. Az Idea számára ki kell dolgoznom a képletet , Ale bida abban, mivel nem ismerünk még vektorokat és kut köztük. Vegye figyelembe a vektorok analógiás paramétereit, ugyanúgy:

(1) Vezess be egy virazi vektort.

(2) A polinomok szorzásának szabályát figyelembe véve a vulgáris squishy megtalálható a statisztikákban Komplex számok abo Lövés-racionális függvények integrálása... Nem ismétlem =) Amíg meg nem szólalunk, tárjátok ki a karokat, a skaláris teremtés elosztó ereje lehetővé teszi számunkra. Mahmo igaza van.

(3) Az első és az utolsó összeadás a vektorok kompaktra írt skaláris négyzetével rendelkezik: ... Egy másik dodankunak van egy vikarisztikus permutabilitása a skaláris létrehozásában:.

(4) Valószínűleg néhány kiegészítés:.

(5) Az első dodanknak van egy vikorista képlete egy skalárnégyzetre, a yakuról nem is olyan régen. A nap többi részében úgy tűnik, ugyanaz:. Újabb kiegészítés a tároláshoz a szabványos képlet szerint .

(6) Pidstavlyaєmo danі umovi , І FONTOS, a maradék számítást elvégezzük.

alábbiak szerint:

A skaláris kreáció negatív értéke állandó tény, hogy a є vektorok között hülyék vagyunk.

Zavdannya tipikus, tengelyes tompa az önálló megoldáshoz:

fenék 4

Ismerje meg a skaláris add-on vektorokat .

Most egy újabb ismeretet bővítettek ki, mint egyszer a vektorgenezis új képletével. Három dolog lesz itt kijelölve, ezért az áttekinthetőség kedvéért levélben átírom:

fenék 5

Ismerd meg a vektor dzsinnjét, yakshot .

Döntés jövünk majd:

(1) Viraz vektorral ellátva.

(2) Vikoristovuymo formula dozhini: a tsom-mal a "ve" vektor minőségében van egy tsiliy viraz.

(3) Victor iskola képlete a sumi négyzetére. Állati tisztelet, ahogy van egy tsikavo pratsyu: - valójában ez egy rіznitsі négyzet, і egyébként, szóval van і. A vektorokat egerek segítségével is átrendezheti: - pontosan ugyanígy volt az adatok átrendezése előtti pontról.

(4) Távolabb, előtte két épület található.

alábbiak szerint:

Yaksho mova idde dovzhináról, ne felejtse el megemlíteni a méretet - "odinitsi".

fenék 6

Ismerd meg a vektor dzsinnjét, yakshot .

Tse popsi egy független megoldáshoz. A döntésen kívül, és lásd a lecke végén.

Prodovzhuєmo vichavlyuvaty corsnі beszédek skaláris teremtésből. Csodálkozom a képletünkön ... Az arányok szabályát követve vékony vektorok a bal oldali sávban:

És részei mozgásban emlékeznek meg:

Kinek van értelme a képlethez? Ha két vektort és egy skalárcsavart látunk, akkor ki lehet számítani ezen vektorok közötti vágás koszinuszát, és magát a vágást is.

Skalár tvir – az egész szám? Szám. Dovzhini vektorok - számok? Számok. Ez azt jelenti, hogy mások lehetnek tizedik számok. És mi a helyzet a koszinusz kuta-val: Akkor könnyen megismerhetjük magát a kut-ot a vokális funkció segítségével: .

fenék 7

Ismerje meg a kut mіzh vektorokat i, ahol vіdomo, scho.

Döntés: Vikoristovuemo képlete:

Az utolsó szakaszban a vikorisztán felsorolása technikai priyom - az irracionalitás uszeniája a zászlóban. A számot és a bannert a hierarchia szokványossága alapján szorzom.

Otzhe, yaksho , Ez:

A verbális trigonometrikus függvények értéke abból is megismerhető trigonometrikus táblázatok... Sokat akarok enni. Az analitikus geometria stábjánál lényeges, hogy van valami nehézkes varázsló a kshtalthoz, és a kuta értékét zárják, vikarisztikus kalkulátor. Vlasne, egy ilyen kép nem egyszeri munka.

alábbiak szerint:

Tudom, nem felejtették el vzmіrnіst - radіany és fok. Különösen abban vagyok nagyon magabiztos, hogy "elviszem az összes ételt", vvazhayu vkazuvat mind azokat, mind azokat (ami az elmét illeti, nyilván nem kell csak radiánban vagy csak fokban ábrázolni).

Most már önállóan is beilleszthető az összehajthatóbb személyzetbe:

7. fenék*

Adott - dozhini vektorok, és kut közöttük. Ismerje meg a kut mіzh vektorokat ,.

Zavdannya nem a hajtogatási stílusban navigál, hanem inkább úgy, mint egy bagato-walker.
Határozza meg a megoldási algoritmust:

1) Az elme számára ismernie kell a vágást az i vektorokkal, ezért vikoristovuvati a képletet .

2) Ismert skaláris tvir (alkalmazott 3., 4. felosztás).

3) Ismeretes, hogy a vektor tényezője і a vektor tényezője (oszt. Alkalmazás No. 5, 6).

4) A döntés a 7. számú függelékből való kilépésről - látjuk a számot, ezért könnyen megismerhető, és maga a kut:

Rövid döntés és magyarázat az óra végén.

A feladat leckéjének egy másik része ugyanarra a skalár-kiegészítőre. Koordináta. Egyszerűbb leszel, most az első részben.

Skaláris add-on vektorok
koordinátákkal adott ortonormális alapon

alábbiak szerint:

Shho y kazati, anyajog a koordinátákkal értelemszerűen elfogadott.

fenék 14

Ismerje meg a skaláris add-on vektorokat

Tse popsi egy független megoldáshoz. Itt vikoristovuvati a művelet társítását úgy, hogy ne a szót tekintse tiszteletnek, hanem azonnal a hármat okolja a skaláralkotásért, és megszorozza azt a nap hátralévő részében. Döntés és tanácsok a leckében.

A bekezdés végén a provokatív fenék a vektor kiszámításához:

fenék 15

Know Do Genie Vectors , yaksho

Döntés: Tudom, hogy utat kell kérnem az első szünet előtt:

Ismerjük a vektort:

1. vacsora a triviális képlet szerint :

Skalár tvir itt vzagalі nі köze!

A vektor kiszámításakor a jak nincs a jobb oldalon:
Álljon meg. És nem kell gyorsan látni a vektor erejét? Mesélnél nekem a vektor dzsinnjéről? Dánia vektor 5-ször jobb, mint a vektor. Egyenes protolezhno, ale tse nem grarolі is rozmova az étkezésről. Nyilvánvalóan mennyi a vektor értéke? modult számok vektoronként:
- a "z'ydaє" modul jele egy szám lehetséges mínusza.

Ebben a rangban:

alábbiak szerint:

A kuta koszinuszának képlete koordinátákkal megadott vektorokkal

Most több információnk van, de korábban a láthatósági vektorok közötti koszinuszvágás képletét használtam a vektorok koordinátáin keresztül:

Koszinusz kuta területvektorokkal i, ortonormális alapon megadva, lendítsd a képletet:
.

Koszinusz kuta vektorokkal a térhez, ortonormális alapon megadva, lendítsd a képletet:

fenék 16

A trikutnik három felső része van. Know (kut a tetején).

Döntés: Mosószékhez nem szükséges viconuvati, de mindegy:

Szükséges kut jelentések zöld ívvel. Azonnal zgaduєmo iskola jelentése kuta: - Én különösen tisztelem középső betű - tse і є szükségünk van a kuta tetejére. A merevség érdekében egyszerűen le is írhatja.

A fotelből teljesen nyilvánvaló, hogy a tricikli vágása az i vektorok közötti vágással épül fel, a következő szavakkal: .

A bazhano elemzések elvégzése megjelent a visonuvati gondolatokon.

Ismerjük a vektort:

Numerikus skaláris tvir:

1. dzsinn vektorok:

Koszinusz kuta:

Ezt az eljárást teáskannákhoz ajánlom. A legtöbb olvasmány egy sorba írható:

A "csúnya" koszinusz értékének i. tengelye. Az Otrymane jelentése nem maradvány, hogy semmilyen különleges értelme nem mentesül a banner irracionalitásától.

Ismerjük magát a kutat:

Ha kíváncsi a székre, az eredmény teljesen hihető. A kut áthuzalozásához szögmérőt is használhat. Ne shkodit pokrittya monitor =)

alábbiak szerint:

A vidpovidinál ez nincs elfelejtve, scho táplálta a tricut's kut(És nem a kut-ról vektorokkal), nem szabad elfelejteni a pontos nézetet megadni: ha a kut értéke közel van: , Tudja a számológép segítségével.

Ti, hto, megelégedve a folyamattal, meg tudja számolni a kuti-t, és megváltozik a kanonikus egyenlőség igazságossága

fenék 17

A feladatok sokaságában a trikutniknak megvannak a csúcsainak koordinátái. Ismerje meg a kut mіzh partik i

Tse popsi egy független megoldáshoz. A döntésen kívül, és lásd az utolsó leckében

A vetítési feladatok között megosztunk egy kis következtetést, amelyben a skalár tvir is "elakadt":

Vektorról vektorra vetítés. A vektor vetítése a koordináta tengelyekre.
Egy vektor irányos koszinuszai

Az én vektor látható:

Egy vektort vektorba vetít, mert a csutka egésze és a vektor vége kimarad merőlegesek vektoron (zöld pontozott vonalak). Megnézni, hogy a fény merőlegesen esik-e a vektorra. A Todi vidrizok (chervona liniya) lesz a vektor "bádogja". Ebben az esetben a vektor vetülete a є LENGTH vektorra kifelé irányul. Tobto, PROJEKT – ÖSSZESEN.

Ha adott egy SZÁM, ez egy támadó rang :, a "nagy vektor" vektort jelent KOTRIY tervezésnél a "kis alvonali vektor" vektort jelent TOVÁBB hogyan kell tervezni.

Maga a bejegyzés így hangzik: "a vektor vetülete" a "vektorra" legyen "".

Mi lesz, hogyan lesz a "legyen" vektor "túl rövid"? Egyenes vonal vezeti, mint a „legyen” vektor felfedése. І "a" vektor vetítésre kerül a "legyen" egyenes vektoron, Egyszerűen - egy egyenes vonalon, mint bosszút állni a "legyen" vektoron. Ugyanez lesz látható, mint a harmincadik birodalomban hatalmon lévő „a” vektor – mindegyik könnyen kivetíthető egy egyenesre, hogy megbosszuljuk az „e” vektort.

yaksho kut mіzh vektorok gostry(Jak per baba), akkor

yaksho vektor ortogonális, Az (a vetítés egy pont, amelynek a mérete nulla).

yaksho kut mіzh vektorok hülye(Egy kis gondolkodás után rendezze át a vektor vonalát), majd (ugyanaz a dovzhina, ale a mínusz jelből vett).

Adott a vektor egyetlen pontból: