wartość 1

Skalarne wektory dodatkowe to liczba, która może dodać liczbę wektorów din do cosinusa cięcia między nimi.

Wyznaczone tworzenie wektorów a → і b → maє viglyad a →, b →. Można przekształcić w formułę:

a →, b → = a → b → cos a →, b → ^. a → і b → oznaczają niektóre wektory, a →, b → ^ oznaczają kutę między danymi wektorami. Jeśli jeden wektor ma wartość zero, aby był równy 0, to wynik będzie równy zero, a →, b → = 0

Mając na sobie wiele wektorów, możemy zrobić kwadrat dini:

a →, b → = a → b → cos a →, a → ^ = a → 2 cos 0 = a → 2

wartość 2

Skalarne mnożenie wektora na sobie nazywa się kwadratem skalarnym.

Oblicza się według wzoru:

a →, b → = a → b → cos a →, b → ^.

Zapisz a →, b → = a → b → cos a →, b → ^ = a → npa → b → = b → b →, npa → a → jest odpowiednio rzutem b → na a →.

Sformułuję wartość create dla dwóch wektorów:

Dodanie skalarne dwóch wektorów a → na b → nazywamy bryłę wektora a → na rzut b → na prostej a → lub bryłę prostej b → na rzut a → na rzut.

Skalar tvir we współrzędnych

Obliczenie kreacji skalarnej można wykonać poprzez współrzędne wektorów w danym obszarze lub w przestrzeni.

Telewizor skalarny dwóch wektorów na obszarze, w przestrzeni trywialnej, nazywa się sumą współrzędnych danych wektorów a → і b →.

Po obliczeniu na obszarze kreacji skalarnej podane wektory a → = (a x, a y), b → = (b x, b y) w wikariuszu układu kartezjańskiego:

a →, b → = a x b x + a y b y,

na trywialną przestrzeń można utknąć viraz:

a →, b → = a x b x + a y b y + a z b z.

W rzeczywistości trzecia wartość kreacji skalarnej.

Przyniósł ci tse.

dowód 1

Aby udowodnić Vikorist jeden a →, b → = a → b → cos a →, b → ^ = ax bx + ay by dla wektorów a → = (ax, ay), b → = (bx, by) w układzie kartezjańskim .

Przesuń z wektora

O A → = a → = a x, a y і O B → = b → = b x, b y.

Todi więcej wektor A B → dorіvnyuvatime A B → = O B → - O A → = b → - a → = (b x - a x, b y - a y).

Trójkołowy O A B.

A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 O A O B cos (∠ A O B)

Za praniem widać, że OA = a →, OB = b →, AB = b → - a →, ∠ AOB = a →, b → ^, co oznacza, że można zapisać wzór na znaczenie kuty z wektorami w dół

b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 a → b → cos (a →, b → ^).

Todi z pierwszej wartości vaping, uho b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 (a →, b →), co oznacza (a →, b →) = 1 2 (a → 2 + b → 2 - b → - a → 2).

Po utknięciu wzoru na obliczanie większej liczby wektorów możemy rozpoznać:
a →, b → = 1 2 ((a 2 x + ay 2) 2 + (b 2 x + o 2) 2 - ((bx - ax) 2 + (przez - ay) 2) 2) = = 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (bx - ax) 2 - (przez - ay) 2) = = ax bx + ay przez

Wykazane przez skuteczność:

(A →, b →) = a → b → cos (a →, b → ^) = = a x b x + a y b y + a z b z

- nadaje się do wektorów w trywialnej przestrzeni.

Skalarne wektory dodatkowe ze współrzędnymi mówią o tym, ale kwadrat skalarny wektora jest sumą współrzędnych kwadratowych w przestrzeni i na kwadracie. a → = (a x, a y, a z), b → = (b x, b y, b z) і (a →, a →) = a x 2 + a y 2.

Skalarny tvir i moc jogi

Aby wyczuć siłę kreacji skalarnej, jak staza dla a →, b → i c →:

przemienność (a →, b →) = (b →, a →);
rozdzielność (a → + b →, c →) = (a →, c →) + (b →, c →), (a → + b →, c →) = (a →, b →) + (a → , c →);
łączna moc (λ a →, b →) = λ (a →, b →), (a →, λ b →) = λ (a →, b →), λ jest liczbą;
kwadrat skalarny jest większy od zera (a →, a →) ≥ 0, de (a →, a →) = 0 w ten sam sposób, jeśli a → zero.

tyłek 1

Potęgę można wytłumaczyć wartością kreacji skalarnej na danym obszarze oraz potęgą przy podawaniu i wielokrotnością liczb rzeczywistych.

Doprowadzić moc przemienności (a →, b →) = (b →, a →). Wartość maєmo to (a →, b →) = a y by y + a y by y і (b →, a →) = b x a x + b y a y.

Zgodnie z mocą przemienności równości a x b x = b x a x і a y by y = b y a y vірні, co oznacza a x b x + a y b y = b x a x + b y a y.

, (A →, b →) = (b →, a →). Trzeba to poruszyć.

Rozkład obowiązuje dla dowolnych liczb:

(A (1) → + a (2) → + ... + A (n) →, b →) = (a (1) →, b →) + (a (2) →, b →) +. ... ... + (A (n) →, b →)

і (a →, b (1) → + b (2) → + ... + b (n) →) = (a →, b (1) →) + (a →, b (2) →) + ... ... ... + (A →, b → (n)),

zvidsy maєmo

(A (1) → + a (2) → + ... + A (n) →, b (1) → + b (2) → + ... + B (m) →) = (a ( 1 ) →, b (1) →) + (a (1) →, b (2) →) +. ... ... + (A (1) →, b (m) →) + + (a (2) →, b (1) →) + (a (2) →, b (2) →) +. ... ... + (A (2) →, b (m) →) +. ... ... + + (A (n) →, b (1) →) + (a (n) →, b (2) →) +. ... ... + (A (n) →, b (m) →)

Skręt skalarny z kolbami i okuciem

Bądź jak zavdannya taki plan, aby oprzeć się zastojowi mocy i formuł, aby poczuć tworzenie skalarne:

(A →, b →) = a → b → cos (a →, b → ^);
(A →, b →) = a → n p a → b → = b → n p b → a →;
(A →, b →) = a x b x + a y by y albo (a →, b →) = a x b x + a y by y + a z b z;
(A →, a →) = a → 2.

Wyczyść deyakі połóż virіshennya.

tyłek 2

Dovzhina a → dorіvnyuє 3, dovzhina b → dorіvnyuє 7. Poznaj dobutok skalarny, który jest kut maє 60 stopni.

Decyzja

Dla umysłu wszystkich darów jestem ponumerowany według formuły:

(A →, b →) = a → b → cos (a →, b → ^) = 3 7 cos 60 ° = 3 7 1 2 = 21 2

Widok: (a →, b →) = 21 2.

tyłek 3

Biorąc pod uwagę wektor a → = (1, - 1, 2 - 3), b → = (0, 2, 2 + 3). Co zrobić z telewizją skalarną.

Decyzja

W tej aplikacji przyjrzymy się wzorowi na obliczenie współrzędnych, ponieważ smród jest podawany w umyśle fabryki:

(A →, b →) = ax bx + ay przez + az bz = = 1 0 + (- 1) 2 + (2 + 3) (2 + 3) = = 0 - 2 + (2 - 9) = - 9

Widok: (a →, b →) = - 9

tyłek 4

Poznaj dodatek skalarny A B → і A C →. Punkty A (1, - 3), B (5, 4), C (1, 1) są podane na obszarze współrzędnych.

Decyzja

W przypadku kolby obliczane są współrzędne wektorów, więc współrzędne punktów podano za umywalką:

A B → = (5 - 1, 4 - (- 3)) = (4, 7) A C → = (1 - 1, 1 - (- 3)) = (0, 4)

Po umieszczeniu wzoru ze współrzędnymi współrzędnych możemy wywnioskować:

(A B →, A C →) = 4 0 + 7 4 = 0 + 28 = 28.

Widok: (A B →, A C →) = 28.

tyłek 5

Ustaw wektor a → = 7 m → + 3 n → і b → = 5 m → + 8 n →, wiedz їх dodaj. m → drzwi 3 i n → 2 jednostki, śmierdzi prostopadle.

Decyzja

(A →, b →) = (7 m → + 3 n →, 5 m → + 8 n →). Mając obsesję na punkcie mocy dystrybucji, rozpoznajemy:

(7 m → + 3 n →, 5 m → + 8 n →) = = (7 m →, 5 m →) + (7 m →, 8 n →) + (3 n →, 5 m →) + ( 3 n →, 8 n →)

Vinosimo kofіtsієnt na znak tworzenia i otrimaєmo:

(7 m →, 5 m →) + (7 m →, 8 n →) + (3 n →, 5 m →) + (3 n →, 8 n →) = = 7 5 (m →, m →) + 7 8 (m →, n →) + 3 5 (n →, m →) + 3 8 (n →, n →) = = 35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (n →, m →) + 24 (n →, n →)

Zgodnie z potęgą przemienności można ją zrekonstruować:

35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (n →, m →) + 24 (n →, n →) = 35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (m →, n →) + 24 (n →, n →) = 35 (m →, m →) + 71 (m →, n → ) + 24 (n →, n →)

W rezultacie rozpoznaje się:

(A →, b →) = 35 (m →, m →) + 71 (m →, n →) + 24 (n →, n →).

Teraz wzór na kreację skalarną znajduje się za nastawieniem:

(A →, b →) = 35 (m →, m →) + 71 (m →, n →) + 24 (n →, n →) = = 35 m → 2 + 71 m → n → cos (m → , n → ^) + 24 n → 2 = = 35 3 2 + 71 3 2 cos π 2 + 24 2 2 = 411.

Widok: (a →, b →) = 411

Yaksho є rzutowanie numeryczne.

tyłek 6

Poznaj dodatek skalarny a → і b →. Wektor a → maє współrzędne a → = (9, 3, - 3), rzut b → ze współrzędnymi (- 3, - 1, 1).

Decyzja

Za wektorem prania a → і rzut b → rzut jest prosty, więc a → = na linię - 1 3

n p a → b → → = - n p a → b → → = - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 = - 11,

Przesyłając do formuły, wyjmujemy viraz:

(A →, b →) = a → n p a → b → → = 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 (- 11) = - 33.

Widok: (a →, b →) = - 33.

Kierując się kreacją skalarną, konieczne jest wyświetlenie rzutu wektorowego lub numerycznego.

tyłek 7

Dla danej kreacji skalarnej a → = (1, 0, λ + 1) і b → = (λ, 1, λ) będzie równe -1.

Decyzja

Wzór pokazuje, że konieczne jest poznanie sumy stworzeń o współrzędnych:

(A →, b →) = 1 λ + 0 1 + (λ + 1) λ = λ 2 + 2 λ.

Mamy maєmo (a →, b →) = - 1.

Aby poznać λ, oblicza się go jako:

λ 2 + 2 λ = - 1, gwiazdki λ = - 1.

Widok: λ = - 1.

Fizyczny sens tworzenia skalarnego

Mechanika oglądania dodatkowej kreacji skalarnej.

Gdy robot A ze stałą siłą F → porusza się tylko z punktu M do N, można poznać skręcenie dwóch wektorów F → i M N → z cosinusem przecięcia między nimi, co oznacza, że robot dodał dodatkowe wektory siły i zmiany:

A = (F →, M N →).

tyłek 8

Przemieszczenie punktu materialnego o 3 metry z jednej siły na kolejne 5 Newtonów skierowane jest w dół pod kątem 45 stopni do osi. Poznaj A.

Decyzja

Czyli jak robot - środek wektora siły na przemieszczenie, co oznacza, że wychodzimy F → = 5, S → = 3, (F →, S → ^) = 45 °, możemy przyjąć A = (F →, S →) = F → S → cos (F →, S → ^) = 5 3 cos (45 °) = 15 2 + 2.

Na przykład: A = 15 2 + 2.

tyłek 9

Punkt materialny, przesuwając się z M (2, - 1, - 3) do N (5, 3 λ - 2, 4) pod wpływem siły F → = (3, 1, 2), spowodował, że robot wyniesie 13 J. Oblicz ilość zmian.

Decyzja

Biorąc pod uwagę współrzędne wektora M N → maєmo M N → = (5 - 2, 3 λ - 2 - (- 1), 4 - (- 3)) = (3, 3 λ - 1, 7).

Dla wzoru na wartość robotów z wektorami F → = (3, 1, 2) і MN → = (3, 3 λ - 1, 7) możemy wywnioskować mo A = (F ⇒, MN →) = 3 3 + 1 3 λ - 1) + 2 7 = 22 + 3 λ.

Dla prania podano, uho A = 13 J, co oznacza 22 + 3 λ = 13. ...

Aby poznać różnicę między M N →

M N → = 3 2 + (- 10) 2 +7 2 = 158.

Widok: 158.

Jak tylko zauważysz ułaskawienie w tekście, bądź łasicą, zobacz to i naciśnij Ctrl + Enter

Będzie to zavdannya dla niezależnego rozwiązania, do którego można podziwiać widoki.

Już w zadaniach, a nawet w wektorach i na srebrnym talerzu między nimi myślę o zadaniach i rozwiązaniach w następujący sposób:

Tyłek 1. Dany wektor. Poznaj skalarny dodatek wektorów, gdzie są one reprezentowane przez takie wartości:

Sprawiedliwa i mniejsza wartość, bardziej równa niż wartość 1.

wartość 2... Skalarny dodatek wektorów to liczba (skalar), która jest dołożeniem jednego z wielu wektorów na rzucie pierwszego wektora na oś, który powinien być pierwszym z wartościowanych wektorów. Formuła oparta jest na wartościach 2:

Zaabsorbowanie zasosuvannya formuły jest virіshimo dla obraźliwego ważnego punktu teoretycznego.

Wartość skalara tworzy wektory pod względem współrzędnych

Tę samą liczbę można skrócić, ponieważ wektory podane przez ich współrzędne są mnożone.

Wartość 3. Skalarny dodatek wektorów to liczba całkowita, podobnie jak suma sparowanych kreacji i wszystkich współrzędnych.

Na terenie

Tylko dwa wektory i na obszarze z własnymi dwoma Kartezjańskie współrzędne prostokątne

następnie skalarny dodatek cich wektorów w sumie drogowej sparowanych kreacji we współrzędnych cx:

Tyłek 2. Poznaj wartość liczbową rzutu wektora na oś równolegle do wektora.

Decyzja. Znane skalarne wektory dodatkowe, przechowywanie parami tworzy współrzędne їх:

Teraz musimy zrobić dodatek skalarny TV do rzutu wektora na oś pionową, równolegle do wektora (podobnie jak we wzorze).

Wiadomo, że wektor jaka jest pierwiastkiem kwadratowym z sumy współrzędnych kwadratowych:

Magazyn w virіshuєmo yogo:

Pogląd. Wartość liczbowa Shukana dla minus 8.

W otwartej przestrzeni

Istnieją dwa wektory, a w przestrzeni mają swoje trzy prostokątne współrzędne kartezjańskie

wtedy skalarny dodatek liczby wektorów jest również sumą par stworzeń o danych współrzędnych, tylko trzy współrzędne:

Zavdannya o wiedzy o skalarnym stworzeniu w dostrzegalny sposób - poprzez wybór mocy skalarnego stworzenia. Do tego w fabryce konieczne jest posiadanie kilku wektorów.

Siła skalarnych wektorów dodatkowych

potęga algebraiczna

1. (moc przekazywalna: Pamiętaj małymi liczbami, pomnóż wektory w wartości skalarnej, nie zmieniaj).

2. (kombinacyjny krok mnożnika liczbowego: Skalarna bliźniaczka wektora pomnożona przez czynnik i ten sam wektor, czyli bardzo skalarne dodanie wektorów qix pomnożone przez ten sam mnożnik).

3. (rozpodilchiy shodo sumi wektor w mocy: Dodatek skalarny sumuje dwa wektory do trzeciego wektora sumy drogowej kreacji skalarnych pierwszego wektora do trzeciego wektora i innego wektora do trzeciego wektora).

4. (kwadrat skalarny wektora większego od zera), gdzie jest wektorem niezerowym, i, gdzie jest wektorem zerowym.

moce geometryczne

W wizualizacji operacji sprzed spowolnienia figura kuty została również poruszona dwoma wektorami. Czas wyjaśnić punkt rozumienia.

Na maleńkim widoczne są dwa wektory; Po raz pierwszy trzeba owinąć się z szacunkiem: w środku wektorów, żeby uruchomić dwóch kutasów - φ 1 і φ 2 ... Yaky z tsikh kutiv figuru w wartościach i mocy skalarów tworzy wektory? Suma razglyanutih kutіv dorіvnyu 2 π i cosinusy cich kutіv pіvnі. Wartość stworzenia skalarnego obejmuje tylko cosinus kuty, a nie wartość skrętu. Tylko jeden kut jest widoczny dla władz. I tseto z dwóch kutiv, których nie zmieniam π , Tobto 180 stopni. O małych znaczeniach tsei kut jak φ 1 .

1. Nazywa się dwa wektory prostokątny і kut mіzh wektory qimi - prosto (90 stopni powyżej) π / 2), yaksho skalarne dodatkowe cich wektory do zera :

Ortogonalna w algebrze wektorowej to prostopadłość dwóch wektorów.

2. Dwa niezerowe wektory stają się gostry kut (Od 0 do 90 stopni lub mniej π skalarny dobutk pozytywnie .

3. Dwa niezerowe wektory stają się głupi kut (Od 90 do 180 stopni, a nawet tyle samo - więcej π / 2) todі i tylko todі, jeśli їх skalarny dobutok negatywnie .

Tyłek 3. Współrzędnymi danych są wektory:

Policz tworzenie skalarne wszystkich par danych wektorów. Yakiy kut (gostry, prosto, głupi) skonfigurował wektory zakładu tsi?

Decyzja. Obliczymy składając kreacje o podanych współrzędnych.

Jeśli liczba jest ujemna, wektor zrobi głupiego kut.

Utworzyliśmy liczbę dodatnią, więc wektor jest ustawiony na gostry kut.

Zero jest ustawione, więc wektor jest ustawiony na prosty kut.

Utworzyliśmy liczbę dodatnią, więc wektor jest ustawiony na gostry kut.

Do samodzielnej weryfikacji możesz vikoristovuvati kalkulator online Skalarne wektory dodatkowe i cosinus kuta między nimi .

Tyłek 4. Podaj dwa wektory i przetnij je między nimi:

Wizualnie dla dowolnej liczby wektory są ortogonalne (prostopadłe).

Decyzja. Wektory mnoży się według zasady mnożenia wielomianów:

Teraz skóra dodanok jest ponumerowana:

Magazyn (równy zero), prowadzony przez niektórych członków i dziewiczy równy:

Sugestia: zaprzeczyliśmy wartości λ = 1,8, dla której wektor jest ortogonalny.

Tyłek 5. Przynieś, wektor scho prostopadłe (prostopadłe) do wektora

Decyzja. Aby ponownie rozważyć ortogonalność, mnoży się wektory i wielomiany;

Dla których konieczne jest pomnożenie członka skóry (dodanok) pierwszego wielomianu przez członka skóry drugiego i utworzenie skóry:

W odrzuconych wynikach kroplówka rakhunoka przyspieszy. Śledź ofensywny wynik:

Viznovok: w rezultacie odrzuciliśmy zero, a następnie doprowadzono ortogonalność (prostopadłość) wektorów.

Podejmij zadanie samodzielnie, a następnie zachwyć się rozwiązaniem

Tyłek 6. Biorąc pod uwagę wektory dozhini, a kut mіzh zimi vectors π / 4. Visnosiity, bez względu na wartość μ wektory i są wzajemnie prostopadłe.

Do samodzielnej weryfikacji możesz vikoristovuvati kalkulator online Skalarne wektory dodatkowe i cosinus kuta między nimi .

Prezentacja macierzowa skalarów tworzy wektory w i tvir wektorach n-wymiarowych

W niektórych przypadkach, w celu pokazania dwóch, pomnóż wektory w widoku macierzy. Jeden to pierwszy wektor reprezentacji w widoku wiersza macierzy, a drugi w widoku wiersza macierzy:

Todi skalarne wektory dodatkowe w bude macierz tsich :

Wynik jest taki sam, ale w ten sam sposób, jakby już na to patrzyli. Wyciągnęliśmy jedną pojedynczą liczbę i dwójkę rzędu macierzy na sto macierzy, a także jedną pojedynczą liczbę.

W formie macierzowej ręcznie reprezentuj zbiór abstrakcyjnych wektorów n-wymiarowych. Tak więc gałązka wektorów dwuwymiarowych będzie utworzeniem wiersza macierzy z elementami na macierzy 100, a także z wyborem elementów gałązką dwóch wektorów światowych - utworzeniem wiersza macierzy z pięć elementów na macierz-elementach więc...

Tyłek 7. Znać skalar tworzyć pary wektorów

Manifestacja macierzy vikoristovuchi.

Decyzja. Pierwsza para wektorów. Pierwszy wektor jest reprezentowany w widoku rzędu-matrycy, a drugi - w widoku rzędu-matrycy. Wiadomo, że skalarne dodanie cich wektorów do jaka dodanie wiersza macierzy do wiersza macierzy:

Podobnie para jest prezentowana znajomemu i wiadomo:

Yak bachimo, wyniki były takie same, wyniki były takie same, a para była cicha z kolbą 2.

Kut mіzh dvoma wektory

Rysunek formuły cosinus kuta mіzh dwa wektory łukowate i lakoniczne.

Schob visloviti skalarne wektory dodatkowe

(1)

w postaci współrzędnych, przed frontem znamy skalar tvir orts. Skalarny dodatek wektora na sobie dla wartości:

Te, które są napisane w formule vishche, oznaczają: skalarne dodawanie wektora na sobie do kwadratu wektora... Cosinus zera to jeden, więc kwadrat skóry ort będzie wynosił jeden:

Więc wektor jaka

parami prostopadle, a następnie utwórz parami prostopadłe do zera:

Istnieje teraz wiele wielomianów wektorowych:

Pidstavlyaєmo w prawej części równości wartości wszystkich skalarnych tworów ortów:

Możemy rozpoznać wzór na cosinus kuty za pomocą dwóch wektorów:

Tyłek 8. Biorąc pod uwagę trzy punkty A(1;1;1), b(2;2;1), C(2;1;2).

Poznaj kut.

Decyzja. Znamy współrzędne wektorów:

Dla wzoru na cosinus kuta możemy:

Otzhe,.

Do samodzielnej weryfikacji możesz vikoristovuvati kalkulator online Skalarne wektory dodatkowe i cosinus kuta między nimi .

Tyłek 9. Biorąc pod uwagę dwa wektory

Znaj sumę, cenę, obiad, skalarny zakręt i przecięcie między nimi.

2. Różnica

wykład: Współrzędne wektorowe; skalarne wektory dodatkowe; wektory kut mіzh

współrzędne wektora

Z tego samego, jak powiedziano wcześniej, wektory to łańcuch prostowania uszu, w którym znajduje się owłosione ucho i czubek. Ucho i koniec są reprezentowane przez małe kropki, co oznacza, że na powierzchni lub w otwartej przestrzeni mają własne współrzędne.

Jeśli punkt skóry ma własne współrzędne, możemy odrzucić współrzędne wektora całkowego.

Podobno istnieje mały wektor, dla dowolnego ucha i końca wektora są takie wartości i współrzędne: A (A x; Ay) i B (B x; By)

Aby skorygować współrzędne danego wektora, należy ze współrzędnych końca wektora odczytać współrzędne kolby:

Aby uzyskać wartość współrzędnych wektora w otwartej przestrzeni, idź szybciej z ofensywną formułą:

Skalarne wektory dodatkowe

Istnieją dwa sposoby wizualizacji zrozumienia tworzenia skalarnego:

Metoda geometryczna. Tu za nim skalarny dodatek do dodatku wartości danych modułów per cosinus przecięty między nimi.

Sens algebraiczny. Z punktu widzenia algebry dodatek skalarny jest dwuwektorem - taką samą wartością, jak wynik sumy dodatków wszystkich wektorów.

Jeśli wektory są ustawione w otwartej przestrzeni, to prędkość jest zbliżona do wzoru:

moc:

Jeśli pomnożymy dwa identyczne wektory skalarnie, to їх dodawanie skalarne nie będzie ujemne:

Jeżeli dodatek skalarny dwóch identycznych wektorów zostanie znaleziony równy zero, to wektory są wpisywane jako zero:

Jeśli dobry wektor jest mnożony przez siebie, to dodatek skalarny jest równy kwadratowi modułu:

Telewizja skalarna może być mocą komunikacyjną, dzięki czemu permutacja wektorów w telewizji skalarnej nie ulega zmianie:

Skalarny zakręt wektorów niezerowych może wynosić zero tylko w tym samym przypadku, jeśli wektory są prostopadłe do jednego do jednego:

W przypadku skalarnego tworzenia wektorów poprawne prawo przemieszczenia jest równe wielokrotności jednego z wektorów na liczbę:

Dzięki kreacji skalarnej samo w sobie jest możliwe uzyskanie rozdzielczej mocy wielości:

Łyska wektory mіzh

Skalarne wektory dodatkowe

Nadal będę sortować wektory. Na pierwszym poziomie Vektori do czajników Przyjrzeliśmy się zrozumieniu wektora, z wektorami, współrzędnymi wektora i najprostszym sposobem z wektorami. Jak tylko poszliśmy do końca dnia po raz pierwszy z poshukach, gorąco polecam przeczytanie artykułu w pierwszej kolejności, muszę poznać wiedzę na temat materiału. Dania jest dla nich lekcją dla logicznych postępów, a do nowego raportu wybiorę typy łat, w których będą wybierane skalarne dodawania wektorów. Tse DUZHE VAZHLIVE zajęty... Staraj się nie przegapić niedopałków, brązowa premia do nich dotrze – praktyka pomoże Ci zabezpieczyć przejście materiału i „napełnić rękę” najnowszymi rozbudowanymi dziełami geometrii analitycznych.

Suma wektorów, pomnożenie wektora przez liczbę .... Bulo b naivnim uważa, że matematycy tego nie wymyślili. Krim widział już wiele innych operacji na wektorach i sam: skalarne wektory dodatkowe, wektor dobutok wektoryі mishaniy dobutok wektory... Wektory skalarne są nam znane ze szkół, oba z nich są tradycyjnie stosowane na kursach matematyki wyższej. Dla tych niezręcznych algorytm generowania szablonu i inteligencji. Jadę. Informacje są przyzwoite, więc nie jest konieczne opanowanie i rozwiązywanie WSZYSTKICH I VIDRAZU. Zwłaszcza czajniki są szczególnie podatne na to, z kolei autor nie chce widzieć Chikatilo w matematyce. Cóż, oczywiście nie z matematyki tj. =) Większe przygotowanie ucznia może sprawić, że materiały będą ożywione, w tym przypadku „dostaną” z dziennej wiedzy, dla ciebie będę tępym hrabią Drakulą =)

Ilekroć dwa wektory tworzą jeden...

Wartość skalarna tworzy wektory.
Siła kreacji skalarnej. Typovі zavdannya

Zrozumienie tworzenia skalarnego

trochę o wektory kut mіzh... Myślę, że wszystko jest intuicyjnie inteligentne, ale też z wektorami, a więcej o wszelkiego rodzaju raportach. Widoczne niezerowe wektory Jak tylko zobaczysz wektor z bieżącego punktu, zobaczysz obraz, a także przedstawione myśli:

Jestem świadomy, tutaj jestem świadomy sytuacji tylko na poziomie rozumu. O ile trzeba wspierać wartość kuty wektorami, być łasicą, być brutalizowanym, ale z praktycznego punktu widzenia chodzi o nas w zasadzie nie obchodzi nas to. Podobnie TUTAJ, I DALI, będę przebłyskiem ignorancji wektorów zerowych poprzez małe znaczenie praktyczne. Alert zrobiv specjalnie za szturchanie strony, ponieważ mogą pojawić się w teoretycznej rozbieżności w ofensywie tverdzhen.

Wartość można przyjąć od 0 do 180 stopni (od 0 do radianów) włącznie. Analitycznie jest faktem, że zostanie to odnotowane przez strażnika podrzędnych nieprawidłowości:

abo

(w radianach).

W literaturze ikona kuta jest często pomijana i łatwo ją napisać.

wartość: Skalarny dodatek dwóch wektorów nazywany jest LICZBĄ, który jest dodatkowym dodatkiem dwóch wektorów do przecięcia cosinus między nimi:

Oś osi jest już pełna wartości suvore.

Accentumo szacunek dla informacji sutty:

Przeznaczenie: dodatek skalarny można oznaczyć za pomocą abo simple.

Wynik operacji є NUMBER: Dodaj wektor do wektora i wprowadź liczbę. Oczywiście, jeśli nawet wektory są liczbami, cosinus kuta jest liczbą, to їх tvir może być liczbą.

Kilka treningów pośladków na raz:

tyłek 1

Decyzja: Formuła Vikora ... W tym vipadku:

następująco:

Wartość cosinusa można znaleźć w tabele trygonometryczne... Polecam її razdrukuvati - jest to niezbędne przy każdej dystrybucji czereśni i będzie wymagało dużo rozwoju.

Z czysto matematycznego punktu widzenia telewizor skalarny jest niezauważalny, więc wynik w tym przypadku to tylko liczba i wszystko. Z punktu widzenia rozwoju fizyki skalar TV jest zależny od pierwotnej zmiany fizycznej, tak więc dla wyniku konieczne jest określenie właściwej jednostki fizycznej. Kolbę kanoniczną według liczby robotów można poznać w każdym ręku (wzór to dokładnie skalarny tvir). Robot został zmuszony do biegania w dżulach, więc powinno być napisane konkretnie, na przykład.

tyłek 2

Poznaj yaksho , I wektory kut mіzh dorіvnyuє.

Tse tyłek dla niezależnego rozwiązania, pokazanego na końcu lekcji.

Wektory Kut mіzh w wartości tworzenia skalarnego

W tyłek 1 skalar tv był dodatni, aw przykładzie 2 był ujemny. Z'yasuєmo, z którego należy położyć znak stworzenia skalarnego. Zastanawiasz się nad naszą formułą: ... Jeśli liczba wektorów niezerowych zależy od dodatniego, to znak można znaleźć tylko na podstawie wartości cosinusa.

Notatka: Dla większej przejrzystości niższe informacje są lepsze niż wykres cosinusa w instrukcji Wykresy i funkcje mocy... Zaskocz, jak będzie wyświetlany cosinus.

Jak już ma na myśli, kut między wektorami może zmieniać się w granicach , W przypadku ewentualnego początku upadku:

1) Jakszoz kut wektory gostry: (Od 0 do 90 stopni), to , і dodatek skalarny będzie pozytywny współkierunek To kut między nimi wynosi zero, a dodatek skalarny również będzie dodatni. Oskilki, formuła polega na pożegnaniu :.

2) Jakszoz kut wektory głupi: (Od 90 do 180 stopni), a następnie i oczywiście skalarny dobutok negatywnie:. Specjalny vipadok: wektor yaksho wyprostowany protolezhno, Że kut mіzh je vvazhaєatsya niespalone: (180 stopni). Skalarny skręt może być ujemny, więc jaka

Targi Chi i firma zootnyi:

1) Yakshcho, a następnie kut m_zh podane wektory gostry. Wariant jaka, wektory współkierunkowe.

2) Yaksho, a następnie kut mіzh podane wektory są głupie. Wersja jaka, wektory są proste.

Ale szczególne zainteresowanie reprezentuje trzeci vypadok:

3) Jakszoz kut wektory prosty: (90 stopni), to i dodatek skalarny do zera:. Zvorotne może być prawdą: tak. Zwarte krzepnięcie formułuje się w następujący sposób: Skalarny dodatek dwa wektory do zera... Krótka notacja matematyczna:

! Notatka : powtarzalny podstawy logiki matematycznej: Dwustronna ikona logicznego przywiązania do czytania „todi i tilki todi”, „w ten i tylko w ten sposób”. Yak bach, strzelcy są wyprostowani w ofensywne strony - "na drinka i z powrotem - potem dalej". Kto przed przemówieniem jest jednostronnym znakiem przejścia? Ikona jesiotra, tylko te To nie jest fakt, ale jest to bardzo sprawiedliwe. Na przykład: jeśli nie chudy zvir є pantera, to w tej vypadce nie można vikoristovuvati ikony. O tej samej godzinie zmień ikonę to możliwe, to możliwe jednostronna ikona vikoristovuvati. Na przykład virіshuyuchi zdannya, mi z'yasuvali, scho zrobił wzór, więc wektory są ortogonalne: - taki zapis będzie poprawny, a navit bardziej pre-river, niz .

Trzeci vipadok ma ogromne znaczenie praktyczne, Oskіlki pozwalają na zmianę, wektory ortogonalne chi nі. Problem mi virishimo przedstawię w innej części lekcji.

Moc tworzenia skalarnego

Przejdźmy do sytuacji, jeśli są dwa wektory współkierunek... W szerokim zakresie cięć między nimi jest zero, a formuła na tworzenie skalarów jest wbudowana w oko :.

A co jeśli pomnożysz sam wektor? Jest powiększony, ale wektor współkierunkowy jest sam w sobie, więc działa korodująco na powyższe według uproszczonego wzoru:

numer do wywołania kwadrat skalarny wektor, nazywam się jaka.

W takiej randze kwadrat skalarny wektora do kwadratu danego wektora:

Z tego powodu można wyprowadzić wzór na obliczenie do dżina wektora:

Zostaw to budowanie z małą inteligencją, ale lekcją stawiania wszystkiego na swoim miejscu. Do rewizji projektu będziemy również potrzebować moc tworzenia skalarnego.

W przypadku dobrych wektorów i czy to liczby, prawdziwe są następujące potęgi:

1) - poruszanie się po przemienny prawo kreacji skalarnej.

2) - rozpodilny abo dystrybucja prawo kreacji skalarnej. Po prostu możesz otworzyć ramiona.

3) - skojarzenie abo asocjacyjny prawo kreacji skalarnej. Za stałą można winić tworzenie skalarne.

Najczęściej cała moc (jak przynieś żądanie!) Uczniowie śpią jak zbędna plamka, co nie jest konieczne, aby wizualnie i od razu bezpiecznie wysłać sen do pamięci. Cóż, co tutaj ważne, wszystko jest tak pierwszorzędne, żeby wiedzieć, że nie ma żadnych zmian w przearanżowaniu mnożników. Jestem winny pilnowania, w przypadku matematyki przy odpowiednim podejściu łatwo jest podnieść drewno opałowe. Na przykład władza przekazywalna nie jest „sprawiedliwa dla” macierze algebraiczne... To niemożliwe dla wektor dobutku wektory... Do tego, aby być jak moc, jak uczysz się w trakcie wielkiej matematyki, jak minimum, piękniej, więcej inteligencji, jak możesz pracować, ale czego nie możesz.

tyłek 3

Decyzja: Z zestawem sytuacji s'yasuєmo z wektorem. Czego szukasz? Suma wektorów jest kompletnym wektorem śpiewu, czyli poprzez. Interpretację geometryczną wektorów z wektorami można znaleźć w statystykach Vektori do czajników... Ta sama pietruszka z wektorem to cena wektora.

Otzhe, za umysłem trzeba znać dodatek skalarny. W przypadku pomysłu muszę wypracować wzór , Ale bida w tym, jak nie znamy nawet wektorów i kut wśród nich. Uwzględnij parametry analogowe dla wektorów w ten sam sposób:

(1) Obróć, aby przesunąć wektory.

(2) Biorąc pod uwagę zasadę mnożenia wielomianów, wulgarną squash można znaleźć w statystykach Liczby zespolone abo Integracja funkcji wymiernych strzałów... Nie będę tego powtarzał =) Dopóki nie porozmawiamy, otwórz ramiona, na to pozwala nam dystrybucyjna moc tworzenia skalarnego. Mamo ma rację.

(3) Pierwszy i ostatni dodatek ma zwarty zapisany kwadrat skalarny wektorów: ... Drugie dodanku ma vikorystyczną zmienność tworzenia skalarnego:.

(4) Prawdopodobnie jakieś dodatkowe elementy :.

(5) Pierwszy dodank ma wzór Vikorist na kwadrat skalarny, o yaku nie tak dawno temu. Przez resztę dnia najwyraźniej to samo :. Kolejny dodatek do przechowywania według standardowej formuły .

(6) Pіdstavlyaєmo danі umovi , І WAŻNE, przeprowadzane są obliczenia resztkowe.

następująco:

Ujemna wartość tworzenia skalarnego jest stałym faktem, że jesteśmy głupi między wektorami є.

Zavdannya to typowa oś do samodzielnego rozwiązania:

tyłek 4

Poznaj skalarne wektory dodatkowe .

Obecnie poszerzono jeszcze jedną wiedzę, jak gdyby o nowy wzór na genezę wektorów. Wyznaczono tu trzy rzeczy, więc dla jasności przepiszę to w liście:

tyłek 5

Poznaj dżina wektora, yaksho .

Decyzja przyjdziemy:

(1) Dostarczany z wektorem viraz.

(2) Vikoristovuyuєmo formuła dozhini: z tsom w jakości wektora „ve” mamy tsіliy viraz.

(3) Wzór szkoły Victora dla sumi kwadratowej. Bestialski szacunek, ponieważ istnieje tsikavo pratsyuє: - w rzeczywistości jest to kwadrat rіznitsі, nawiasem mówiąc, więc tam. Możesz przestawiać wektory za pomocą myszy: - To było to samo od dokładnego punktu przed przestawieniem danych.

(4) Dalej znajdują się dwa budynki z przodu.

następująco:

Yaksho mova idde o dovzhina, nie zapomnij wspomnieć o rozmiarze - „odinitsi”.

tyłek 6

Poznaj dżina wektora, yaksho .

Tse tyłek dla niezależnego rozwiązania. Poza decyzją i zobacz na końcu lekcji.

Prodovzhuєmo vichavlyuvati korisnі przemówienia ze stworzenia skalarnego. Jestem zachwycony naszą formułą ... Zgodnie z zasadą proporcji, chude wektory w banerze lewej części:

A jego części są zapamiętywane w ruchach:

Kto ma sens formuły? Jeśli widzimy dwa wektory i jedną krzywą skalarną, to można obliczyć cosinus cięcia między tymi wektorami, a także samo cięcie.

Skalar tvir - liczba całkowita? Numer. Wektory Dovzhini - liczby? Liczby. Oznacza to, że inni mogą mieć ten sam numer. A co z cosinusową kutą: Wtedy łatwo jest poznać sam kut za pomocą funkcji wokalnej: .

tyłek 7

Poznaj wektory kut mіzh i, gdzie vіdomo, scho.

Decyzja: Formuła Vikoristovuєmo:

Na ostatnim etapie wyliczenie wikorystacji jest technicznym priyom - usunenia irracjonalności na sztandarze. W imię uzyteczności hierarchii jestem pomnożony przez numer i sztandar.

Otzhe, Yaksho , To:

Wartość słownych funkcji trygonometrycznych można również poznać z: tabele trygonometryczne... Chcę dużo jeść. W personelu zajmującym się geometriami analitycznymi często zdarza się, że istnieje rodzaj nieporęcznego czarodzieja dla kshtalta, a wartość kuty jest sprowadzana do ścisłego, wikarystycznego kalkulatora. Vlasne, takie zdjęcie nie jest jednorazową pracą.

następująco:

Wiem, że nie można zapomnieć o przestrzeni – o radianach i stopniach. Zwłaszcza ja, sobomo „wziąć całe jedzenie”, vvazhay dla pięknie vkazuvat zarówno tych, jak i tych (jeśli chodzi o umysł, oczywiście nie trzeba reprezentować tylko w radianach lub tylko w stopniach).

Teraz możesz samodzielnie zmieścić się w bardziej składanych łatach:

Tyłek 7 *

Biorąc pod uwagę - wektory dozhini i kut między nimi. Poznaj wektory kut mіzh.

Zavdannya, aby poruszać się nie w stylu składania, ale raczej jak spacerowicz bagato.
Przeanalizuj algorytm rozwiązania:

1) Dla umysłu musisz znać cięcie z wektorami i, więc musisz nauczyć się wzoru .

2) Znany skalarny tvir (Div. Applied nr 3, 4).

3) Znany jest czynnik wektora і do czynnika wektora (dział. Zastosuj nr 5, 6).

4) Decyzja o wyjściu z Załącznika nr 7 - widzimy numer, dlatego łatwo go poznać i sam kut:

Krótka decyzja i wyjaśnienie na koniec lekcji.

Inny udzielił lekcji przypisania do tego samego dodatku skalarnego. Koordynować. Będziesz prostszy, teraz w pierwszej części.

Skalarne wektory dodatkowe
podane przez współrzędne w bazie ortonormalnej

następująco:

Shho y kazati, współrzędne prawego mati są sensownie akceptowane.

tyłek 14

Poznaj dodawanie skalarne wektorów

Tse tyłek dla niezależnego rozwiązania. Tutaj możesz vikoristovuvati skojarzenie operacji, aby nie brać słowa za szacunek, ale natychmiast obwiniaj trzy za granicę stworzenia skalarnego i pomnóż je przez resztę dnia. Decyzja i porady na lekcji.

Na końcu akapitu prowokacyjny tyłek do obliczenia wektora:

tyłek 15

Wiedz, czy wektory dżina , yaksho

Decyzja: Wiem, żeby zapytać o sposób przed przerwą frontową:

Znamy wektor:

Pierwsza kolacja według banalnej formuły :

Skalar tvir tutaj vzagalі nі z tym zrobić!

Jak nie jest po prawej stronie, a po obliczeniu wektora:
Zatrzymać. I nie spiesz się, aby zobaczyć siłę wektora? Czy możesz mi opowiedzieć o dżinie wektora? Wektor w Danii jest 5 razy lepszy niż wektor. Proste protolezhno, ale tse not grarolі, także rozmova o posiłku. Oczywiście, jaka jest wartość wektora? moduł liczby na wektor:
- znak modułu „z'їdaє” jest możliwym minusem liczby.

W tym rankingu:

następująco:

Wzór na cosinus kuty z wektorami podanymi przez współrzędne

Teraz mamy więcej informacji, ale wcześniej użyłem wzoru na przecięcie kosinusowe pomiędzy wektorami widoczności poprzez współrzędne wektorów:

Cosinus kuta z wektorami powierzchni ja, podane w ortonormalnej bazie, zginać formułę:
.

Cosinus kuta z wektorami do przestrzeni, podane w bazie ortonormalnej, zginać formułę:

tyłek 16

Podano trzy szczyty trikutnika. Wiedz (kut na górze).

Decyzja: W przypadku krzesła do mycia visonuvati nie jest konieczne, ale mimo wszystko:

Niezbędny kut znaczeń z zielonym łukiem. Natychmiast zgaduєmo shkilne poznachennya kuta: - Szczególnie szanuję środkowy litera - tse і є potrzebujemy szczytu kuty. Jeśli chodzi o sztywność, możesz ją również po prostu zapisać.

Z fotela jest absolutnie oczywiste, że cięcie trójkołowca tworzy się z cięcia między wektorami i, czyli tymi słowami: .

Przeprowadzanie analiz bazhano jest niedostrzegalne dla myśli vikonuvati.

Znamy wektor:

Numerycznie skalarna tvir:

Wektory pierwszego dżina:

Kuta cosinus:

Polecam tę procedurę czajniczkom. Większość odczytów można zapisać w jednym rzędzie:

Oś i tyłek o „paskudnej” wartości cosinusa. Znaczenie Otrymane nie jest szczątkowe, że żaden szczególny sens nie jest pozbawiony irracjonalności w banerze.

Znamy sam kut:

Jeśli zastanawiasz się nad krzesłem, wynik jest całkowicie wiarygodny. Możesz także użyć kątomierza, aby zmienić kut. Nie shkodit monitoruj pokrittya =)

następująco:

W vidpovidі nie zapomniano, scho karmiony kut trikutnik(I nie o kut z wektorami), nie zapomniano podać dokładnego widoku: jeśli wartość kut jest bliska: , Wiedz o pomocy kalkulatora.

Ti, hto, zadowolona z procesu, może policzyć kuti i zrezygnować w sprawiedliwości kanonicznej równości

tyłek 17

W ogromie zadań trikutnik ma współrzędne swoich szczytów. Znam imprezy kut mіzh i

Tse tyłek dla niezależnego rozwiązania. Poza decyzją i zobacz na lekcji

Mały wniosek zostanie podzielony między zadaniami projekcyjnymi, w których skalarny tvir jest również „zakleszczony”:

Projekcja wektorowa na wektor. Rzut wektora na oś współrzędnych.
Cosinusy kierunkowe wektora

Wektor i można zobaczyć:

Rzutowany wektor na wektor, ponieważ pominięto całą kolbę i koniec wektora prostopadłe na wektorze (zielone linie przerywane). Sprawdź, czy światło pada prostopadle na wektor. Todi vidrizok (chervona liniya) będzie wektorem „tinnyu”. W tym przypadku rzut wektora na wektor є LENGTH jest skierowany na zewnątrz. Tobto, PROJEKCJA - CAŁKOWITA LICZBA.

Biorąc pod uwagę, że LICZBA jest wyznaczona przez rangę ofensywną :, „wielki wektor” oznacza wektor KOTRIY projekt, „mały wektor podlinii” oznacza wektor NA jak projektować.

Sam wpis brzmi tak: "rzut wektora" a "na wektor" być "".

Co się stanie, w jaki sposób wektor „będzie” będzie „zbyt krótki”? Prowadzone przez linię prostą, lubią zemścić się na wektorze „być”. І będzie rzutowany wektor "a" na prostym wektorze "być", Po prostu - w linii prostej, jak zemścić się na wektorze "być". To samo będzie postrzegane jako wektor "a" u władzy w trzydziestym królestwie - wszystko jedno można łatwo rzutować na linię prostą, aby pomścić wektor "e".

yaksho kut wektory gostry(Jak na dziecko), to

yaksho wektor prostokątny, Że (rzut jest punktem, którego wielkość jest wpisana jako zero).

yaksho kut wektory głupi(Po krótkiej namyśle zmień strzałkę wektora), a następnie (ta sama dovzhina, ale zaczerpnięta ze znaku minus).

Mając wektor z jednego punktu:

Oczywiście, gdy wektor rzutu jest przesunięty, to się nie zmienia

Vector not i skalar tvir pozwalają łatwo wyliczyć qut z wektorami. Niech zostaną podane dwa wektory $ \ overline (a) $ і $ \ overline (b) $, uporządkowania między tymi samymi drogami $ \ varphi $. Wartość liczbowa $ x = (\ overline (a), \ overline (b)) $ і $ y = [\ overline (a), \ overline (b)] $. Todі $ x = r \ cos \ varphi $, $ y = r \ sin \ varphi $, de $ r = | \ nadkreślenie (a) | \ cdot | \ nadkreślenie (b) | $ i $ \ varphi $ to shukaniy kut, czyli punkt $ (x, y) $ to polar kut, pivniy $ \ varphi $, і, również $ \ varphi $ może być znany jako atan2 (y , x).

Obszar trykotu mężczyzny

Oscylacje wektora można umieścić w dwóch dwóch wektorach na cosinusie przecięcia między nimi, a następnie wektor można wykorzystać do obliczenia powierzchni trójkołowego ABC:

$ S_ (ABC) = \ frac (1) (2) | [\ overline (AB), \ overline (AC)] | $.

Płaskość punktu linii prostych

Cóż, biorąc pod uwagę punkt $ P $ і prostej linii $ AB $ (podany przez dwa punkty $ A $ і $ B $). Konieczna jest rekonfiguracja trafności punktu prostego $AB $.

Punkt jest linią prostą $ AB $ todі i tylko todі, jeśli wektory $ AP $ і $ AB $ są współliniowe, więc jeśli $ [\ overline (AP), \ overline (AB)] = 0 $.

Spójność punktu wymiany

Niech zostanie podany punkt $ P $ i promin $ AB $ (zadania z dwoma punktami - przy wymianie kolb $ A $ i punkt na promnie $ B $). Konieczne jest ponowne rozważenie znaczenia punktu wymiany $AB $.

Zanim punkt $ P $ będzie należał do prostej $ AB $, należy dodać wektor współkierunkowy $ AP $ і $ AB $ do punktu $ P $, aby smród współliniowy i їх skalarny tvir był nieujemny, tak, że $ (\ overline (AB), \ overline (AP)) \ ge 0 $.

Wiarygodność punktu jest

Nie podawaj punktu $ P $ i $ AB $. Konieczne jest ponowne rozważenie trafności punktu do $AB $.

W każdym razie chodzi o winę za nakładanie się na wymianę $ AB $, wymianę $ BA $, konieczne jest ponowne rozważenie kroków:

$ [\ Overline (AP), \ Overline (AB)] = 0 $,

$ (\ Overline (AB), \ overline (AP)) \ ge 0 $,

$ (\ Overline (BA), \ Overline (BP)) \ ge 0 $.

Idź od punktu do prostej

Cóż, biorąc pod uwagę punkt $ P $ і prostej linii $ AB $ (podany przez dwa punkty $ A $ і $ B $). Musisz wiedzieć, gdzie jest prosty punkt $AB$.

Czytelny trójkołowy ABP. Z jednej strony, z drugiej strony drogi $ S_ (ABP) = \ frac (1) (2) | [\ overline (AB), \ overline (AP)] | $.

Po drugiej stronie, po drugiej stronie drogi $ S_ (ABP) = \ frac (1) (2) h | AB | $, de $ h $ to wysokość opuszczona od punktu $ P $, czyli od $ P $ do $ AB $. Gwiazdki $ h = | [\ overline (AB), \ overline (AP)] | / | AB | $.

Widok z punktu do wymiany

Niech zostanie podany punkt $ P $ i promin $ AB $ (zadania z dwoma punktami - przy wymianie kolb $ A $ i punkt na promnie $ B $). Konieczne jest poznanie punktu przed wymianą, tak aby od najkrótszego punktu od punktu $P$ do punktu wymiany.

Cena pójdzie od punktu $P$ do linii prostej $AB$. Łatwo jest znaleźć sposób na wymianę punktów dla siebie. Jeśli jest gostry PAB, tobto $ (\ overline (AB), \ overline (AP))> 0 $, to zobaczysz od punktu $ P $ do prostej $ AB $ i zobaczysz to, jeśli zobaczysz $ AB $.