лекція: Координати вектора; скалярний добуток векторів; кут між векторами

координати вектора

Отже, як уже говорилося раніше, вектора - це спрямований відрізок, у якого є власна початок і кінець. Якщо початок і кінець представлені деякими точками, значить на площині або в просторі у них є свої координати.

Якщо ж у кожної точки є свої координати, то ми можемо отримати і координати цілого вектора.

Припустимо, ми маємо деякий вектор, у якого початок і кінець вектора мають такі позначення і координати: A (A x; Ay) і B (B x; By)

Щоб отримати координати даного вектора, необхідно з координат кінця вектора відняти відповідні координати початку:

Для визначення координати вектора в просторі слід скористатися наступною формулою:

Скалярний добуток векторів

Існує два способи визначення поняття скалярного твори:

Геометричний спосіб. Згідно з ним, скалярний добуток дорівнює добутку величин даних модулів на косинус кута між ними.

Алгебраїчний сенс. З точки зору алгебри, скалярний добуток двох вектором - це якась величина, яка виходить в результаті суми добутків відповідних векторів.

Якщо вектори задані в просторі, то слід скористатися аналогічною формулою:

властивості:

Якщо помножити два однакових вектора скалярно, то їх скалярний добуток буде не негативним:

Якщо ж скалярний добуток двох однакових векторів вийшло рівним нулю, то ці вектори вважаються нульовими:

Якщо деякий вектор помножити на себе ж, то скалярний добуток вийде рівним квадрату його модуля:

Скалярний твір має комунікативне властивість, тобто від перестановки векторів скалярний твір не зміниться:

Скалярний твір ненульових векторів може дорівнювати нулю тільки в тому випадку, якщо вектора перпендикулярні один одному:

Для скалярного твори векторів справедливий переместітельний закон у випадку з множенням одного з векторів на число:

При скалярному творі так само можна використовувати дистрибутивное властивість множення:

Кут між векторами

визначення 1

Скалярний добуток векторів називають число, що дорівнює добутку дин цих векторів на косинус кута між ними.

Позначення твори векторів a → і b → має вигляд a →, b →. Перетворимо в формулу:

a →, b → = a → · b → · cos a →, b → ^. a → і b → позначають довжини векторів, a →, b → ^ - позначення кута між заданими векторами. Якщо хоч один вектор нульової, тобто має значення 0, то і результат буде дорівнює нулю, a →, b → = 0

При множенні вектора самого на себе, отримаємо квадрат його дини:

a →, b → = a → · b → · cos a →, a → ^ = a → 2 · cos 0 = a → 2

визначення 2

Скалярне множення вектора самого на себе називають скалярним квадратом.

Обчислюється за формулою:

a →, b → = a → · b → · cos a →, b → ^.

Запис a →, b → = a → · b → · cos a →, b → ^ = a → · npa → b → = b → · npb → a → показує, що npb → a → - це числова проекція a → на b →, npa → a → - проекція b → на a → соостветсвенно.

Сформулюємо визначення твори для двох векторів:

Скалярний добуток двох векторів a → на b → називають твір довжини вектора a → на проекцію b → на напрям a → або твір довжини b → на проекцію a → відповідно.

Скалярний твір в координатах

Обчислення скалярного твори можна робити через координати векторів в заданій площині або в просторі.

Скаларное твір двох векторів на площині, в тривимірному простарнстве називають суму координат заданих векторів a → і b →.

При обчисленні на площині скаларного твори заданих векторів a → = (a x, a y), b → = (b x, b y) в декартовій системі використовують:

a →, b → = a x · b x + a y · b y,

для тривимірного простору може бути застосовано вираз:

a →, b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z.

Фактично це є третім визначенням скалярного твори.

Доведемо це.

доказ 1

Для доказу використовуємо a →, b → = a → · b → · cos a →, b → ^ = ax · bx + ay · by для векторів a → = (ax, ay), b → = (bx, by) на декартовій системі.

Слід відкласти вектори

O A → = a → = a x, a y і O B → = b → = b x, b y.

Тоді довжина вектора A B → дорівнюватиме A B → = O B → - O A → = b → - a → = (b x - a x, b y - a y).

Розглянемо трикутник O A B.

A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 · O A · O B · cos (∠ A O B) вірно, виходячи з теореми косинусів.

За умовою видно, що O A = a →, O B = b →, A B = b → - a →, ∠ A O B = a →, b → ^, значить, формулу знаходження кута між векторами запишемо інакше

b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 · a → · b → · cos (a →, b → ^).

Тоді з першого визначення випливає, що b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 · (a →, b →), значить (a →, b →) = 1 2 · (a → 2 + b → 2 - b → - a → 2).

Застосувавши формулу обчислення довжини векторів, отримаємо:
a →, b → = 1 2 · ((a 2 x + ay 2) 2 + (b 2 x + by 2) 2 - ((bx - ax) 2 + (by - ay) 2) 2) = = 1 2 · (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (bx - ax) 2 - (by - ay) 2) = = ax · bx + ay · by

Доведемо рівності:

(A →, b →) = a → · b → · cos (a →, b → ^) = = a x · b x + a y · b y + a z · b z

- відповідно для векторів тривимірного простору.

Скалярний добуток векторів з координатами говорить про те, що скалярний квадрат вектора дорівнює сумі квадратів його координат в просторі і на площині відповідно. a → = (a x, a y, a z), b → = (b x, b y, b z) і (a →, a →) = a x 2 + a y 2.

Скалярний твір і його властивості

Існують властивості скалярного твори, які застосовні для a →, b → і c →:

коммутативность (a →, b →) = (b →, a →);
дистрибутивность (a → + b →, c →) = (a →, c →) + (b →, c →), (a → + b →, c →) = (a →, b →) + (a → , c →);
сочетательное властивість (λ · a →, b →) = λ · (a →, b →), (a →, λ · b →) = λ · (a →, b →), λ - будь-яке число;
скалярний квадрат завжди більше нуля (a →, a →) ≥ 0, де (a →, a →) = 0 в тому випадку, коли a → нульовий.

приклад 1

Властивості можна пояснити завдяки визначенню скалярного твори на площині і властивостями при додаванні і множенні дійсних чисел.

Довести властивість коммутативности (a →, b →) = (b →, a →). З визначення маємо, що (a →, b →) = a y · b y + a y · b y і (b →, a →) = b x · a x + b y · a y.

По властивості коммутативности рівності a x · b x = b x · a x і a y · b y = b y · a y вірні, значить a x · b x + a y · b y = b x · a x + b y · a y.

Звідси випливає, що (a →, b →) = (b →, a →). Що і потрібно було довести.

Дистрибутивність справедлива для будь-яких чисел:

(A (1) → + a (2) → +... + A (n) →, b →) = (a (1) →, b →) + (a (2) →, b →) +. . . + (A (n) →, b →)

і (a →, b (1) → + b (2) → +... + b (n) →) = (a →, b (1) →) + (a →, b (2) →) + . . . + (A →, b → (n)),

звідси маємо

(A (1) → + a (2) → +... + A (n) →, b (1) → + b (2) → +... + B (m) →) = = (a ( 1) →, b (1) →) + (a (1) →, b (2) →) +. . . + (A (1) →, b (m) →) + + (a (2) →, b (1) →) + (a (2) →, b (2) →) +. . . + (A (2) →, b (m) →) +. . . + + (A (n) →, b (1) →) + (a (n) →, b (2) →) +. . . + (A (n) →, b (m) →)

Скалярний твір з прикладами і рішеннями

Будь-яке завдання такого плану вирішується із застосуванням властивостей і формул, що стосуються скалярного твори:

(A →, b →) = a → · b → · cos (a →, b → ^);
(A →, b →) = a → · n p a → b → = b → · n p b → a →;
(A →, b →) = a x · b x + a y · b y або (a →, b →) = a x · b x + a y · b y + a z · b z;
(A →, a →) = a → 2.

Розглянемо деякі приклади вирішення.

приклад 2

Довжина a → дорівнює 3, довжина b → дорівнює 7. Знайти скалярний добуток, якщо кут має 60 градусів.

Рішення

За умовою маємо всі дані, тому обчислюємо за формулою:

(A →, b →) = a → · b → · cos (a →, b → ^) = 3 · 7 · cos 60 ° = 3 · 7 · 1 2 = 21 2

Відповідь: (a →, b →) = 21 2.

приклад 3

Задані вектори a → = (1, - 1, 2 - 3), b → = (0, 2, 2 + 3). Чому дорівнює скалярною твір.

Рішення

В даному прикладі розглядається формула обчислення за координатами, так як вони задані в умові завдання:

(A →, b →) = ax · bx + ay · by + az · bz = = 1 · 0 + (- 1) · 2 + (2 + 3) · (2 + 3) = = 0 - 2 + ( 2 - 9) = - 9

Відповідь: (a →, b →) = - 9

приклад 4

Знайти скалярний добуток A B → і A C →. На координатної площині задані точки A (1, - 3), B (5, 4), C (1, 1).

Рішення

Для початку обчислюються координати векторів, так як за умовою дано координати точок:

A B → = (5 - 1, 4 - (- 3)) = (4, 7) A C → = (1 - 1, 1 - (- 3)) = (0, 4)

Підставивши в формулу з використанням координат, отримаємо:

(A B →, A C →) = 4 · 0 + 7 · 4 = 0 + 28 = 28.

Відповідь: (A B →, A C →) = 28.

приклад 5

Задані вектори a → = 7 · m → + 3 · n → і b → = 5 · m → + 8 · n →, знайти їх добуток. m → дорівнює 3 і n → дорівнює 2 одиницям, вони перпендикулярні.

Рішення

(A →, b →) = (7 · m → + 3 · n →, 5 · m → + 8 · n →). Застосувавши властивість дистрибутивности, отримаємо:

(7 · m → + 3 · n →, 5 · m → + 8 · n →) = = (7 · m →, 5 · m →) + (7 · m →, 8 · n →) + (3 · n →, 5 · m →) + (3 · n →, 8 · n →)

Виносимо коефіцієнт за знак твори і отримаємо:

(7 · m →, 5 · m →) + (7 · m →, 8 · n →) + (3 · n →, 5 · m →) + (3 · n →, 8 · n →) = = 7 · 5 · (m →, m →) + 7 · 8 · (m →, n →) + 3 · 5 · (n →, m →) + 3 · 8 · (n →, n →) = = 35 · (m →, m →) + 56 · (m →, n →) + 15 · (n →, m →) + 24 · (n →, n →)

По властивості коммутативности перетворимо:

35 · (m →, m →) + 56 · (m →, n →) + 15 · (n →, m →) + 24 · (n →, n →) = = 35 · (m →, m →) + 56 · (m →, n →) + 15 · (m →, n →) + 24 · (n →, n →) = = 35 · (m →, m →) + 71 · (m →, n → ) + 24 · (n →, n →)

В результаті отримаємо:

(A →, b →) = 35 · (m →, m →) + 71 · (m →, n →) + 24 · (n →, n →).

Тепер застосуємо формулу для скалярного твори з заданим за умовою кутом:

(A →, b →) = 35 · (m →, m →) + 71 · (m →, n →) + 24 · (n →, n →) = = 35 · m → 2 + 71 · m → · n → · cos (m →, n → ^) + 24 · n → 2 = = 35 · 3 2 + 71 · 3 · 2 · cos π 2 + 24 · 2 2 = 411.

Відповідь: (a →, b →) = 411

Якщо є числова проекція.

приклад 6

Знайти скалярний добуток a → і b →. Вектор a → має координати a → = (9, 3, - 3), проекція b → з координатами (- 3, - 1, 1).

Рішення

За умовою вектори a → і проекція b → протилежно спрямовані, тому що a → = посилання - 1 3 · n p a → b → →, значить проекція b → відповідає довжині n p a → b → →, при чому зі знаком «-»:

n p a → b → → = - n p a → b → → = - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 = - 11,

Підставивши в формулу, отримаємо вираз:

(A →, b →) = a → · n p a → b → → = 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 · (- 11) = - 33.

Відповідь: (a →, b →) = - 33.

Завдання при відомому скалярном творі, де необхідно відшукати довжину вектора або числову проекцію.

приклад 7

Яке значення має прийняти λ при заданому скалярном творі a → = (1, 0, λ + 1) і b → = (λ, 1, λ) буде рівним -1.

Рішення

З формули видно, що необхідно знайти суму творів координат:

(A →, b →) = 1 · λ + 0 · 1 + (λ + 1) · λ = λ 2 + 2 · λ.

У дано маємо (a →, b →) = - 1.

Щоб знайти λ, обчислюємо рівняння:

λ 2 + 2 · λ = - 1, звідси λ = - 1.

Відповідь: λ = - 1.

Фізичний сенс скалярного твори

Механіка розглядає додаток скалярного твори.

При роботі А з постійною силою F → переміщується тіло з точки M в N можна знайти твір довжин векторів F → і M N → з косинусом кута між ними, значить робота дорівнює добутку векторів сили і переміщення:

A = (F →, M N →).

приклад 8

Переміщення матеріальної точки на 3 метри під дією сили рівної 5 Ньтона направлено під кутом 45 градусів щодо осі. Знайти A.

Рішення

Так як робота - це твір вектора сили на переміщення, значить, виходячи з умови F → = 5, S → = 3, (F →, S → ^) = 45 °, отримаємо A = (F →, S →) = F → · S → · cos (F →, S → ^) = 5 · 3 · cos (45 °) = 15 2 + 2.

Відповідь: A = 15 2 + 2.

приклад 9

Матеріальна точка, переміщаючись з M (2, - 1, - 3) в N (5, 3 λ - 2, 4) під силою F → = (3, 1, 2), зробила робота рівну 13 Дж. Обчислити довжину переміщення.

Рішення

При заданих координатах вектора M N → маємо M N → = (5 - 2, 3 λ - 2 - (- 1), 4 - (- 3)) = (3, 3 λ - 1, 7).

За формулою знаходження роботи з векторами F → = (3, 1, 2) і MN → = (3, 3 λ - 1, 7) отримаємо A = (F ⇒, MN →) = 3 · 3 + 1 · (3 λ - 1) + 2 · 7 = 22 + 3 λ.

За умовою дано, що A = 13 Д ж, значить 22 + 3 λ = 13. Звідси випливає λ = - 3, значить і M N → = (3, 3 λ - 1, 7) = (3, - 10, 7).

Щоб знайти довжину переміщення M N →, застосуємо формулу і підставимо значення:

M N → = 3 2 + (- 10) 2 +7 2 = 158.

Відповідь: 158.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl + Enter

Векторне і скалярний твір дозволяє легко обчислювати кут між векторами. Нехай дано два вектора $ \ overline (a) $ і $ \ overline (b) $, орієнтований кут між якими дорівнює $ \ varphi $. Обчислимо значення $ x = (\ overline (a), \ overline (b)) $ і $ y = [\ overline (a), \ overline (b)] $. Тоді $ x = r \ cos \ varphi $, $ y = r \ sin \ varphi $, де $ r = | \ overline (a) | \ cdot | \ overline (b) | $, а $ \ varphi $ - шуканий кут, тобто точка $ (x, y) $ має полярний кут, рівний $ \ varphi $, і, отже, $ \ varphi $ може бути знайдено, як atan2 (y, x).

Площа трикутника

Оскільки векторне твір містить в собі твір двох довжин векторів на косинус кута між ними, то векторний добуток можна використовувати для обчислення площі трикутника ABC:

$ S_ (ABC) = \ frac (1) (2) | [\ overline (AB), \ overline (AC)] | $.

Належність точки прямій

Нехай дана точка $ P $ і пряма $ AB $ (задана двома точками $ A $ і $ B $). Необхідно перевірити приналежність точки прямої $ AB $.

Точка належить прямій $ AB $ тоді і тільки тоді, коли вектора $ AP $ і $ AB $ колінеарні, тобто якщо $ [\ overline (AP), \ overline (AB)] = 0 $.

Належність точки променю

Нехай дана точка $ P $ і промінь $ AB $ (заданий двома точками - початком променя $ A $ і точкою на промені $ B $). Необхідно перевірити приналежність точки променю $ AB $.

До умові приналежності точки $ P $ прямий $ AB $ необхідно додати додаткову умову - вектора $ AP $ і $ AB $ сонаправлени, тобто вони колінеарні і їх скалярний твір неотрицательно, тобто $ (\ overline (AB), \ overline (AP )) \ ge 0 $.

Належність точки відрізку

Нехай дана точка $ P $ і відрізок $ AB $. Необхідно перевірити приналежність точки відрізку $ AB $.

У цьому випадку точка повинна належати і променю $ AB $, і променю $ BA $, тому необхідно перевірити наступні умови:

$ [\ Overline (AP), \ overline (AB)] = 0 $,

$ (\ Overline (AB), \ overline (AP)) \ ge 0 $,

$ (\ Overline (BA), \ overline (BP)) \ ge 0 $.

Відстань від точки до прямої

Нехай дана точка $ P $ і пряма $ AB $ (задана двома точками $ A $ і $ B $). Необхідно знайти відстань від точки прямої $ AB $.

Розглянемо трикутник ABP. З одного боку, його площа дорівнює $ S_ (ABP) = \ frac (1) (2) | [\ overline (AB), \ overline (AP)] | $.

З іншого боку, його площа дорівнює $ S_ (ABP) = \ frac (1) (2) h | AB | $, де $ h $ - висота, опущена з точки $ P $, тобто відстань від $ P $ до $ AB $. Звідки $ h = | [\ overline (AB), \ overline (AP)] | / | AB | $.

Відстань від точки до променя

Нехай дана точка $ P $ і промінь $ AB $ (заданий двома точками - початком променя $ A $ і точкою на промені $ B $). Необхідно знайти відстань від точки до променя, тобто довжину найкоротшого відрізка від точки $ P $ до будь-якої точки променя.

Це відстань дорівнює або довжині $ AP $, або відстані від точки $ P $ до прямої $ AB $. Який з випадків має місце бути легко визначити за взаємною розташуванню променя і точки. Якщо кут PAB гострий, тобто $ (\ overline (AB), \ overline (AP))> 0 $, то відповіддю буде відстань від точки $ P $ до прямої $ AB $, інакше відповіддю буде довжина відрізка $ AB $.

Відстань від точки до відрізка

Нехай дана точка $ P $ і відрізок $ AB $. Необхідно знайти відстань від $ P $ до відрізка $ AB $.

Якщо основа перпендикуляра, опущеного з $ P $ на пряму $ AB $ потрапить на відрізок $ AB $, що можна перевірити за умовами

$ (\ Overline (AP), \ overline (AB)) \ ge 0 $,

$ (\ Overline (BP), \ overline (BA)) \ ge 0 $,

то відповіддю буде відстань від точки $ P $ до прямої $ AB $. Інакше відстань дорівнюватиме $ \ min (AP, BP) $.

Будуть і завдання для самостійного рішення, до яких можна подивитися відповіді.

Якщо в задачі і довжини векторів, і кут між ними піднесені "на блюдечку з блакитною облямівкою", то умову задачі і її рішення виглядають так:

Приклад 1.Дано вектори. Знайти скалярний добуток векторів, якщо їх довжини і кут між ними представлені такими значеннями:

Справедливо і інше визначення, повністю рівносильне визначення 1.

визначення 2. Скалярним добутком векторів називається число (скаляр), яке дорівнює добутку довжини одного з цих векторів на проекцію іншого вектора на вісь, яка визначається першим із зазначених векторів. Формула згідно з визначенням 2:

Завдання із застосуванням цієї формули вирішимо після наступного важливого теоретичного пункту.

Визначення скалярного твори векторів через координати

Те ж саме число можна отримати, якщо перемножуються вектори задані своїми координатами.

Визначення 3.Скалярний добуток векторів - це число, яке дорівнює сумі попарних творів їх відповідних координат.

На площині

Якщо два вектори і на площині визначені своїми двома декартовими прямокутними координатами

то скалярний добуток цих векторів дорівнює сумі попарних творів їх відповідних координат:

Приклад 2.Знайти чисельну величину проекції вектора на вісь, паралельну вектору.

Рішення. Знаходимо скалярний добуток векторів, складаючи попарні твори їх координат:

Тепер нам потрібно прирівняти отримане скалярний твір добутку довжини вектора на проекцію вектора на вісь, паралельну вектору (відповідно до формули).

Знаходимо довжину вектора як квадратний корінь з суми квадратів його координат:

Складаємо рівняння і вирішуємо його:

Відповідь. Шукана чисельна величина дорівнює мінус 8.

В просторі

Якщо два вектори і в просторі визначені своїми трьома декартовими прямокутними координатами

то скалярний добуток цих векторів також дорівнює сумі попарних творів їх відповідних координат, тільки координат вже три:

Завдання на знаходження скалярного твори розглянутим способом - після розбору властивостей скалярного твори. Тому що в завданні потрібно визначити, який кут утворюють перемножуємо вектори.

Властивості скалярного добутку векторів

алгебраїчні властивості

1. (переместительное властивість: Поміняються місцями перемножуєте векторів величина їх скалярного твори не змінюється).

2. (сочетательное щодо числового множника властивість: Скалярний твір вектора, помноженого на деякий множник, і іншого вектора, так само скалярному добутку цих векторів, помноженому на той же множник).

3. (розподільчий щодо суми векторів властивість: Скалярний добуток суми двох векторів на третій вектор дорівнює сумі скалярних творів першого вектора на третій вектор і другого вектора на третій вектор).

4. (скалярний квадрат вектора більше нуля), Якщо - ненульовий вектор, і, якщо - нульовий вектор.

геометричні властивості

У визначеннях досліджуваної операції ми вже торкалися поняття кута між двома векторами. Пора уточнити це поняття.

На малюнку вище видно два вектора, які приведені до спільного початку. І перше, на що потрібно звернути увагу: між цими векторами існують два кута - φ 1 і φ 2 . Який з цих кутів фігурує в визначеннях і властивості скалярного твори векторів? Сума розглянутих кутів дорівнює 2 π і тому косинуси цих кутів рівні. В визначення скалярного твори входить тільки косинус кута, а не значення його вираження. Але у властивостях розглядається тільки один кут. І це той з двох кутів, який не перевищує π , Тобто 180 градусів. На малюнку цей кут позначений як φ 1 .

1. Два вектора називають ортогональними і кут між цими векторами - прямий (90 градусів або π / 2), якщо скалярний добуток цих векторів дорівнює нулю :

Ортогональним в векторній алгебрі називається перпендикулярність двох векторів.

2. Два ненульових вектора становлять гострий кут (Від 0 до 90 градусів, або, що те ж саме - менше π скалярний добуток позитивно .

3. Два ненульових вектора становлять тупий кут (Від 90 до 180 градусів, або, що те ж саме - більше π / 2) тоді і тільки тоді, коли їх скалярний добуток негативно .

Приклад 3.У координатах дані вектори:

Обчислити скалярні твори всіх пар даних векторів. Який кут (гострий, прямий, тупий) утворюють ці пари векторів?

Рішення. Обчислювати будемо шляхом складання творів відповідних координат.

Отримали негативне число, тому вектори утворюють тупий кут.

Отримали позитивне число, тому вектори утворюють гострий кут.

Отримали нуль, тому вектори утворюють прямий кут.

Отримали позитивне число, тому вектори утворюють гострий кут.

Для самоперевірки можна використовувати онлайн калькулятор Скалярний добуток векторів і косинус кута між ними .

Приклад 4.Дано довжини двох векторів і кут між ними:

Визначити, при якому значенні числа вектори і ортогональні (перпендикулярні).

Рішення. Перемножимо вектори за правилом множення многочленів:

Тепер обчислимо кожний доданок:

Складемо рівняння (рівність твори нулю), наведемо подібні члени і вирішимо рівняння:

Відповідь: ми отримали значення λ = 1,8, при якому вектори ортогональні.

Приклад 5.Довести, що вектор ортогонален (перпендикулярний) вектору

Рішення. Щоб перевірити ортогональность, перемножимо вектори і як многочлени, підставляючи замість його вираз, дане в умові завдання:

Для цього потрібно кожен член (доданок) першого многочлена помножити на кожний член другого і отримані твори скласти:

В отриманому результаті дріб за рахунок скорочується. Виходить наступний результат:

Висновок: в результаті множення отримали нуль, отже, ортогональность (перпендикулярність) векторів доведена.

Вирішити задачу самостійно, а потім подивитися рішення

Приклад 6.Дано довжини векторів і, a кут між цими векторами дорівнює π / 4. Визначити, при якому значенні μ вектори і взаємно перпендикулярні.

Матричне подання скалярного твори векторів і твір n-мірних векторів

Іноді виграшним для наочності є уявлення двох перемножуєте векторів у вигляді матриць. Тоді перший вектор представлений у вигляді матриці-рядка, а другий - у вигляді матриці-стовпця:

Тоді скалярний добуток векторів буде твором цих матриць :

Результат той же, що і отриманий способом, який ми вже розглянули. Отримали одне єдине число, і твір матриці-рядка на матрицю-стовпець також є одним єдиним числом.

У матричної формі зручно представляти твір абстрактних n-мірних векторів. Так, твір двох чотиривимірних векторів буде твором матриці-рядка з чотирма елементами на матрицю-стовпець також з чотирма елементами, твір двох мірних векторів - твором матриці-рядка з п'ятьма елементами на матрицю-стовпець також з п'ятьма елементами і так далі.

Приклад 7.Знайти скалярні твори пар векторів

використовуючи матричне уявлення.

Рішення. Перша пара векторів. Представляємо перший вектор у вигляді матриці-рядка, а другий - у вигляді матриці-стовпця. Знаходимо скалярний добуток цих векторів як добуток матриці-рядка на матрицю-стовпець:

Аналогічно представляємо другу пару і знаходимо:

Як бачимо, результати вийшли ті ж, що і у тих же пар з прикладу 2.

Кут між двома векторами

Висновок формули косинуса кута між двома векторами дуже гарний і лаконічний.

Щоб висловити скалярний добуток векторів

(1)

в координатної формі, попередньо знайдемо скалярні твір ортов. Скалярний добуток вектора на саме себе за визначенням:

Те, що записано у формулі вище, означає: скалярний добуток вектора на самого себе дорівнює квадрату його довжини. Косинус нуля дорівнює одиниці, тому квадрат кожного орта буде дорівнювати одиниці:

Так як вектори

попарно перпендикулярні, то попарні твори ортов дорівнюватимуть нулю:

Тепер виконаємо множення векторних многочленів:

Підставляємо в праву частину рівності значення відповідних скалярних творів ортов:

Отримуємо формулу косинуса кута між двома векторами:

Приклад 8.Дано три точки A(1;1;1), B(2;2;1), C(2;1;2).

Знайти кут.

Рішення. Знаходимо координати векторів:

За формулою косинуса кута отримуємо:

Отже,.

Приклад 9.Дано два вектора

Знайти суму, різницю, довжину, скалярний твір і кут між ними.

2.Разность

Скалярний добуток векторів

Продовжуємо розбиратися з векторами. На першому уроці Вектори для чайниківми розглянули поняття вектора, дії з векторами, координати вектора і найпростіші завдання з векторами. Якщо ви зайшли на цю сторінку вперше з пошукача, настійно рекомендую прочитати вищезгадану вступну статтю, оскільки для засвоєння матеріалу необхідно орієнтуватися в використовуваних мною термінах, позначеннях, володіти базовими знаннями про вектори і вміти вирішувати елементарні завдання. Даний урок є логічним продовженням теми, і на ньому я докладно розберу типові завдання, в яких використовується скалярний добуток векторів. Це ДУЖЕ ВАЖЛИВЕ заняття. Постарайтеся не пропускати приклади, до них додається корисний бонус - практика допоможе вам закріпити пройдений матеріал і «набити руку» на вирішенні поширених завдань аналітичної геометрії.

Сума векторів, множення вектора на число .... Було б наївним думати, що математики не придумали що-небудь ще. Крім уже розглянутих дій, існує ряд інших операцій з векторами, а саме: скалярний добуток векторів, векторний добуток векторіві мішаний добуток векторів. Скалярний добуток векторів знайоме нам зі школи, два інших твори традиційно відносяться до курсу вищої математики. Теми нескладні, алгоритм вирішення багатьох завдань трафарет і зрозумілий. Єдине. Інформації пристойно, тому небажано намагатися освоїти-прорешать ВСЕ І ВІДРАЗУ. Особливо це стосується чайників, повірте, автор зовсім не хоче відчувати себе Чикатило від математики. Ну і не від математики, звичайно, теж =) Більш підготовлені студенти можуть використовувати матеріали вибірково, в даному разі, «добирати» відсутні знання, для вас я буду нешкідливим графом Дракулою =)

Відкриємо ж, нарешті, двері і захоплено подивимося, що відбувається, коли два вектора зустрічають один одного ....

Визначення скалярного твори векторів.
Властивості скалярного твори. Типові завдання

Поняття скалярного твори

спочатку про кут між векторами. Думаю, всім інтуїтивно зрозуміло, що таке кут між векторами, але про всяк випадок трохи докладніше. Розглянемо вільні ненульові вектори і. Якщо відкласти дані вектори від довільної точки, то вийде картинка, яку багато хто вже представили подумки:

Зізнаюся, тут я змалював ситуацію тільки на рівні розуміння. Якщо необхідно суворе визначення кута між векторами, будь ласка, зверніться до підручника, для практичних же завдань воно нам, в принципі, ні до чого. Також ТУТ І ДАЛІ я буду місцями ігнорувати нульові вектори через їхню малу практичну значимість. Застереження зробив спеціально для просунутих відвідувачів сайту, які можуть мені дорікнути в теоретичній неповноті деяких наступних тверджень.

може приймати значення від 0 до 180 градусів (від 0 до радіан) включно. Аналітично даний факт записується у вигляді подвійної нерівності:

або

(В радіанах).

У літературі значок кута часто пропускають і пишуть просто.

визначення:Скалярним добутком двох векторів і називається ЧИСЛО, що дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними:

Ось це ось уже цілком суворе визначення.

Акцентуємо увагу на суттєвої інформації:

позначення:скалярний добуток позначається через або просто.

Результат операції є ЧИСЛОМ: Збільшується вектор на вектор, а виходить число. Дійсно, якщо довжини векторів - це числа, косинус кута - число, то їх твір теж буде числом.

Відразу пара розминок прикладів:

приклад 1

Рішення:використовуємо формулу . В даному випадку:

відповідь:

Значення косинуса можна знайти в тригонометричної таблиці. Рекомендую її роздрукувати - потрібно практично у всіх розділах вишки і буде потрібно багато разів.

Чисто з математичної точки зору скалярний твір безрозмірно, тобто результат, в даному випадку, просто число і все. З точки ж зору завдань фізики скалярний твір завжди має певний фізичний зміст, тобто після результату потрібно вказати ту чи іншу фізичну одиницю. Канонічний приклад по обчисленню роботи сили можна знайти в будь-якому підручнику (формула в точності представляє собою скалярний твір). Робота сили вимірюється в Джоулях, тому, і відповідь запишеться цілком конкретно, наприклад,.

приклад 2

Знайти, якщо , А кут між векторами дорівнює.

Це приклад для самостійного рішення, відповідь в кінці уроку.

Кут між векторами і значення скалярного твори

У прикладі 1 скалярний твір вийшло позитивним, а в Примері 2 - негативним. З'ясуємо, від чого залежить знак скалярного твори. Дивимося на нашу формулу: . Довжини ненульових векторів завжди позитивні:, тому знак може залежати тільки від значення косинуса.

Примітка: Для більш якісного розуміння наведеної нижче інформації краще вивчити графік косинуса в методичке Графіки і властивості функції. Подивіться, як поводиться косинус на відрізку.

Як уже зазначалося, кут між векторами може змінюватися в межах , І при цьому можливі наступні випадки:

1) Якщо кутміж векторами гострий: (Від 0 до 90 градусів), то , і скалярний добуток буде позитивним сонаправлени, То кут між ними вважається нульовим, і скалярний добуток також буде позитивним. Оскільки, то формула спрощується:.

2) Якщо кутміж векторами тупий: (Від 90 до 180 градусів), то , і відповідно, скалярний добуток негативно:. Особливий випадок: якщо вектори спрямовані протилежно, То кут між ними вважається розгорнутим: (180 градусів). Скалярний твір теж негативно, так як

Чи справедливі і зворотні твердження:

1) Якщо, то кут між даними векторами гострий. Як варіант, вектори сонаправлени.

2) Якщо, то кут між даними векторами тупий. Як варіант, вектори спрямовані протилежно.

Але особливий інтерес представляє третій випадок:

3) Якщо кутміж векторами прямий: (90 градусів), то і скалярний добуток дорівнює нулю:. Зворотне теж вірно: якщо, то. Компактно твердження формулюється так: Скалярний добуток двох векторів дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли дані вектори ортогональні. Коротка математична запис:

! Примітка : повторимо основи математичної логіки: Двосторонній значок логічного слідства зазвичай читають «тоді і тільки тоді», «в тому і тільки в тому випадку». Як бачите, стрілки спрямовані в обидва боки - «з цього випливає це, і назад - з того, слід це». У чому, до речі, відмінність від одностороннього значка проходження? Значок стверджує, тільки те, Що «з цього випливає це», і не факт, що зворотне справедливо. Наприклад:, але не кожен звір є пантерою, тому в даному випадку не можна використовувати значок. У той же час, замість значка можна, можливовикористовувати односторонній значок. Наприклад, вирішуючи завдання, ми з'ясували, що і зробили висновок, що вектори ортогональні: - такий запис буде коректною, і навіть більш доречною, ніж .

Третій випадок має велику практичну значимість, Оскільки дозволяє перевірити, ортогональні вектори чи ні. Дану задачу ми вирішимо в другому розділі уроку.

Властивості скалярного твори

Повернемося до ситуації, коли два вектора сонаправлени. У цьому випадку кут між ними дорівнює нулю, і формула скалярного твори набуває вигляду:.

А що буде, якщо вектор помножити на самого себе? Зрозуміло, що вектор сонаправлени сам з собою, тому користуємося вищевказаної спрощеною формулою:

число називається скалярним квадратомвектора, і позначаться як.

Таким чином, скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату довжини даного вектора:

З даного рівності можна отримати формулу для обчислення довжини вектора:

Поки вона здається малозрозумілою, але завдання уроку все розставлять на свої місця. Для вирішення завдань нам також будуть потрібні властивості скалярного твори.

Для довільних векторів і будь-якого числа справедливі такі властивості:

1) - переместітельний або комутативнимизакон скалярного твори.

2) - розподільний або дистрибутивнийзакон скалярного твори. Попросту, можна розкривати дужки.

3) - асоціативний або асоціативнийзакон скалярного твори. Константу можна винести з скалярного твори.

Найчастіше, всілякі властивості (які ще й доводити треба!) Сприймаються студентами як непотрібний мотлох, який лише необхідно визубрити і відразу після іспиту благополучно забути. Здавалося б, чого тут важливого, все і так з першого класу знають, що від перестановки множників добуток не змінюється:. Повинен застерегти, у вищій математиці з подібним підходом легко наламати дров. Так, наприклад, переместительное властивість не є справедливим для алгебраїчних матриць. Невірно воно і для векторного добутку векторів. Тому, в будь-які властивості, які вам зустрінуться в курсі вищої математики, як мінімум, краще вникати, щоб зрозуміти, що можна робити, а чого не можна.

приклад 3

Рішення:Спочатку з'ясуємо ситуацію з вектором. Що це взагалі таке? Сума векторів та є цілком певний вектор, який і позначений через. Геометричну інтерпретацію дій з векторами можна знайти в статті Вектори для чайників. Та ж петрушка з вектором - це сума векторів і.

Отже, за умовою потрібно знайти скалярний добуток. За ідеєю, потрібно застосувати робочу формулу , Але біда в тому, що нам невідомі довжини векторів і кут між ними. Зате в умови дані аналогічні параметри для векторів, тому ми підемо іншим шляхом:

(1) Підставляємо вирази векторів.

(2) Відкриваємо дужки за правилом множення многочленів, вульгарну скоромовку можна знайти в статті Комплексні числаабо Інтегрування дробово-раціональної функції. Повторюватися чи не буду =) До речі, розкрити дужки нам дозволяє дистрибутивное властивість скалярного твори. Маємо право.

(3) У першому і останньому доданку компактно записуємо скалярні квадрати векторів: . У другому доданку використовуємо перестановочность скалярного твори:.

(4) Наводимо подібні доданки:.

(5) У першому доданку використовуємо формулу скалярного квадрата, про яку не так давно згадувалося. В останньому доданку, відповідно, працює та ж штука:. Другий доданок розкладаємо по стандартній формулі .

(6) Підставляємо дані умови , І УВАЖНО проводимо остаточні обчислення.

відповідь:

Негативне значення скалярного твори констатує той факт, що кут між векторами є тупим.

Завдання типова, ось приклад для самостійного рішення:

приклад 4

Знайти скалярний добуток векторів і, якщо відомо, що .

Тепер ще одна поширена завдання, як раз на нову формулу довжини вектора. Позначення тут будуть трохи збігатися, тому для ясності я перепишу її з іншою буквою:

приклад 5

Знайти довжину вектора, якщо .

Рішеннябуде наступним:

(1) Поставляємо вираз вектора.

(2) Використовуємо формулу довжини:, при цьому в якості вектора «ве» у нас виступає цілий вираз.

(3) Використовуємо шкільну формулу квадрата суми. Зверніть увагу, як вона тут цікаво працює: - фактично це квадрат різниці, і, по суті, так воно і є. Бажаючі можуть переставити вектори місцями: - вийшло те ж саме з точністю до перестановки доданків.

(4) Подальше вже знайоме з двох попередніх завдань.

відповідь:

Якщо мова йде про довжину, не забуваємо вказати розмірність - «одиниці».

приклад 6

Знайти довжину вектора, якщо .

Це приклад для самостійного рішення. Повне рішення і відповідь в кінці уроку.

Продовжуємо вичавлювати корисні речі з скалярного твори. Знову подивимося на нашу формулу . За правилом пропорції скинемо довжини векторів в знаменник лівої частини:

А частини поміняємо місцями:

У чому сенс цієї формули? Якщо відомі довжини двох векторів і їх скалярний твір, то можна обчислити косинус кута між даними векторами, а, отже, і сам кут.

Скалярний твір - це число? Число. Довжини векторів - числа? Числа. Значить, дріб теж є деяким числом. А якщо відомий косинус кута: , То за допомогою зворотного функції легко знайти і сам кут: .

приклад 7

Знайти кут між векторами і, якщо відомо, що.

Рішення:Використовуємо формулу:

На заключному етапі обчислень використаний технічний прийом - усунення ірраціональності в знаменнику. З метою усунення ірраціональності я домножимо чисельник і знаменник на.

Отже, якщо , То:

Значення зворотних тригонометричних функцій можна знаходити по тригонометричної таблиці. Хоча трапляється це рідко. У завданнях аналітичної геометрії значно частіше з'являється який-небудь неповороткий ведмідь на кшталт, і значення кута доводиться знаходити наближено, використовуючи калькулятор. Власне, таку картину ми ще неодноразово побачимо.

відповідь:

Знову, не забуваємо вказувати розмірність - радіани і градуси. Особисто я, щоб свідомо «зняти всі питання», вважаю за краще вказувати і те, і те (якщо за умовою, звичайно, не потрібно представити відповідь тільки в радіанах або тільки в градусах).

Тепер ви зможете самостійно впоратися з більш складним завданням:

Приклад 7 *

Дано - довжини векторів, і кут між ними. Знайти кут між векторами,.

Завдання навіть не стільки складне, скільки багатоходову.
Розберемо алгоритм рішення:

1) За умовою потрібно знайти кут між векторами і, тому потрібно використовувати формулу .

2) Знаходимо скалярний твір (див. Приклади № 3, 4).

3) Знаходимо довжину вектора і довжину вектора (див. Приклади № 5, 6).

4) Кінцівка рішення збігається з Прикладом № 7 - нам відомо число, а значить, легко знайти і сам кут:

Короткий рішення і відповідь в кінці уроку.

Другий розділ уроку присвячений тому ж скалярному добутку. Координати. Буде навіть простіше, ніж в першій частині.

Скалярний добуток векторів,
заданих координатами в ортонормированном базисі

відповідь:

Що й казати, мати справу з координатами значно приємніше.

приклад 14

Знайти скалярний добуток векторів і, якщо

Це приклад для самостійного рішення. Тут можна використовувати асоціативність операції, тобто не брати до уваги, а відразу винести трійку за межі скалярного твори і помножити на неї в останню чергу. Рішення і відповідь в кінці уроку.

На закінчення параграфа провокаційний приклад на обчислення довжини вектора:

приклад 15

Знайти довжини векторів , якщо

Рішення:знову напрошується спосіб попереднього розділу:, але існує й інша дорога:

Знайдемо вектор:

І його довжину по тривіальної формулою :

Скалярний твір тут взагалі ні при чому!

Як не при справах воно і при обчисленні довжини вектора:
Стоп. А не скористатися чи очевидним властивістю довжини вектора? Що можна сказати про довжину вектора? Даний вектор довше вектора в 5 разів. Напрямок протилежно, але це не грає ролі, адже розмова про довжину. Очевидно, що довжина вектора дорівнює добутку модулячисла на довжину вектора:
- знак модуля «з'їдає» можливий мінус числа.

Таким чином:

відповідь:

Формула косинуса кута між векторами, які задані координатами

Тепер у нас є повна інформація, щоб раніше виведену формулу косинуса кута між векторами висловити через координати векторів:

Косинус кута між векторами площиніі, заданими в ортонормированном базисі, виражається формулою:
.

Косинус кута між векторами простору, Заданими в ортонормированном базисі, виражається формулою:

приклад 16

Дано три вершини трикутника. Знайти (кут при вершині).

Рішення:За умовою креслення виконувати не потрібно, але все-таки:

Необхідний кут позначений зеленою дугою. Відразу згадуємо шкільне позначення кута: - особливу увагу на середнюбукву - це і є потрібна нам вершина кута. Для стислості можна було також записати просто.

З креслення абсолютно очевидно, що кут трикутника збігається з кутом між векторами і, іншими словами: .

Проведений аналіз бажано навчитися виконувати подумки.

Знайдемо вектори:

Обчислимо скалярний твір:

І довжини векторів:

Косинус кута:

Саме такий порядок виконання завдання рекомендую чайникам. Більш підготовлені читачі можуть записувати обчислення «одним рядком»:

Ось і приклад «поганого» значення косинуса. Отримане значення не є остаточним, тому немає особливого сенсу позбавлятися від ірраціональності в знаменнику.

Знайдемо сам кут:

Якщо подивитися на креслення, то результат цілком правдоподібний. Для перевірки кут також можна виміряти і транспортиром. Чи не зашкодить покриття монітора =)

відповідь:

У відповіді не забуваємо, що питалося про кут трикутника(А не про кут між векторами), не забуваємо вказати точну відповідь: і наближене значення кута: , Знайдене за допомогою калькулятора.

Ті, хто отримав задоволення від процесу, можуть обчислити кути, і переконатися в справедливості канонічного рівності

приклад 17

У просторі заданий трикутник координатами своїх вершин. Знайти кут між сторонами і

Це приклад для самостійного рішення. Повне рішення і відповідь в кінці уроку

Невеликий заключний розділ буде присвячений проекція, в яких теж «замішано» скалярний твір:

Проекція вектора на вектор. Проекція вектора на координатні осі.
Направляючі косинуси вектора

Розглянемо вектори і:

Спроектуємо вектор на вектор, для цього з початку і кінця вектора опустимо перпендикулярина вектор (зелені пунктирні лінії). Уявіть, що на вектор перпендикулярно падають промені світла. Тоді відрізок (червона лінія) буде «тінню» вектора. В даному випадку проекцією вектора на вектор є ДЛИНА відрізка. Тобто, ПРОЕКЦІЯ - ЦЕ ЧИСЛО.

Дане ЧИСЛО позначається наступним чином:, «великим вектором» позначають вектор КОТРИЙпроектують, «маленьким підстрочним вектором» позначають вектор НАякий проектують.

Сама запис читається так: «проекція вектора« а »на вектор« бе »».

Що станеться, якщо вектор «бе» буде «занадто коротким»? Проводимо пряму лінію, яка містить вектор «бе». І вектор «а» буде проектуватися вже на напрям вектора «бе», Просто - на пряму, яка містить вектор «бе». Те ж саме відбудеться, якщо вектор «а» відкласти в тридесятому царстві - він все одно легко спроецируется на пряму, яка містить вектор «бе».

якщо кутміж векторами гострий(Як на малюнку), то

якщо вектори ортогональні, То (проекцією є точка, розміри якої вважаються нульовими).

якщо кутміж векторами тупий(На малюнку подумки переставте стрілочку вектора), то (та ж довжина, але взята зі знаком мінус).

Відкладемо дані вектори від однієї точки: