У цій статті ми детально зупинимося на понятті векторного добутку двох векторів. Ми дамо необхідні визначення, запишемо формулу для знаходження координат векторного твори, перерахуємо і обгрунтуємо його властивості. Після цього зупинимося на геометричному сенсі векторного добутку двох векторів і розглянемо рішення різних характерних прикладів.

Навігація по сторінці.

Визначення векторного твори.

Перш ніж дати визначення векторного твори, розберемося з орієнтацією впорядкованої трійки векторів в тривимірному просторі.

Відкладемо вектори від однієї точки. Залежно від напрямку вектора трійка може бути правою чи лівою. Подивимося з кінця вектора на те, як відбувається найкоротший поворот від вектора до. Якщо найкоротший поворот відбувається проти годинникової стрілки, то трійка векторів називається правою, в іншому випадку - лівої.

Тепер візьмемо зо два не колінеарних вектора і. Відкладемо від точки А вектори і. Побудуємо деякий вектор, перпендикулярний одночасно і і. Очевидно, що при побудові вектора ми можемо вступити двояко, задавши йому один напрямок, або протилежне (дивіться ілюстрацію).

Залежно від напрямку вектора впорядкована трійка векторів може бути правою чи лівою.

Так ми впритул підійшли до визначення векторного твору. Воно дається для двох векторів, заданих в прямокутній системі координат тривимірного простору.

Визначення.

Векторним твором двох векторіві, заданих в прямокутній системі координат тривимірного простору, називається такий вектор, що

Векторний добуток векторів і позначається як.

Координати векторного твори.

Зараз дамо друге визначення векторного твору, яке дозволяє знаходити його координати по координатам заданих векторів і.

Визначення.

У прямокутній системі координат тривимірного простору векторний добуток двох векторів і є вектор, де - координатні вектори.

Це визначення дає нам векторний добуток в координатної формі.

Векторний добуток зручно представляти у вигляді визначника квадратної матриці третього порядку, перший рядок якої є орт, у другому рядку знаходяться координати вектора, а в третій - координати вектора в заданій прямокутній системі координат:

Якщо розкласти цей визначник за елементами першого рядка, то отримаємо рівність з визначення векторного твори в координатах (при необхідності звертайтеся до статті):

Слід зазначити, що координатна форма векторного твори повністю узгоджується з визначенням, даним в першому пункті цієї статті. Більш того, ці два визначення векторного твори еквівалентні. Доказ цього факту можете подивитися в книзі, зазначеної в кінці статті.

Властивості векторного твори.

Так як векторний добуток в координатах представимо у вигляді визначника матриці, то на підставі легко обґрунтовуються наступні властивості векторного добутку:

Для прикладу доведемо властивість антикоммутативність векторного твори.

За визначенням і . Нам відомо, що значення визначника матриці змінюється на протилежне, якщо переставити місцями два рядки, тому, , Що доводить властивість антикоммутативність векторного твори.

Векторний добуток - приклади і рішення.

В основному зустрічаються три типи завдань.

У завданнях першого типу задані довжини двох векторів і кут між ними, а потрібно знайти довжину векторного твори. У цьому випадку використовується формула .

Приклад.

Знайдіть довжину векторного добутку векторів і, якщо відомо .

Рішення.

Ми знаємо з визначення, що довжина векторного добутку векторів і дорівнює добутку довжин векторів і на синус кута між ними, тому, .

відповідь:

.

Завдання другого типу пов'язані з координатами векторів, в них векторний добуток, його довжина або що-небудь ще шукається через координати заданих векторів і .

Тут можлива маса різних варіантів. Наприклад, можуть бути задано не координати векторів і, а їх розкладання по координатним векторах виду і, або вектори і можуть бути задані координатами точок їх початку і кінця.

Розглянемо характерні приклади.

Приклад.

У прямокутній системі координат задані два вектори . Знайдіть їх векторний добуток.

Рішення.

За другим визначенням векторний добуток двох векторів в координатах записується як:

До такого ж результату ми б прийшли, якби векторний добуток записали через визначник

відповідь:

.

Приклад.

Знайдіть довжину векторного добутку векторів і, де - орт прямокутної декартової системи координат.

Рішення.

Спочатку знайдемо координати векторного твори в заданій прямокутній системі координат.

Так як вектори і мають координати і відповідно (при необхідності дивіться статтю координати вектора в прямокутній системі координат), то за другим визначенням векторного твори маємо

Тобто, векторний добуток має координати в заданій системі координат.

Довжину векторного твори знаходимо як корінь квадратний із суми квадратів його координат (цю формулу довжини вектора ми отримали в розділі знаходження довжини вектора):

відповідь:

.

Приклад.

У прямокутній декартовій системі координат задані координати трьох точок. Знайдіть який-небудь вектор, перпендикулярний і одночасно.

Рішення.

Вектори і мають координати і відповідно (дивіться статтю знаходження координат вектора через координати точок). Якщо знайти векторний добуток векторів і, то воно за визначенням є вектором, перпендикулярним і до і до, тобто, є рішенням нашої задачі. знайдемо його

відповідь:

- один з перпендикулярних векторів.

У завданнях третього типу перевіряється навичка використання властивостей векторного добутку векторів. Після застосування властивостей, застосовуються відповідні формули.

Приклад.

Вектори і перпендикулярні і їх довжини рівні відповідно 3 і 4. Знайдіть довжину векторного твори .

Рішення.

По властивості дистрибутивности векторного твори ми можемо записати

В силу асоціативного властивості винесемо числові коефіцієнти за знак векторних творів в останньому виразі:

Векторні твори і дорівнюють нулю, так як і , Тоді.

Так як векторний добуток антикоммутативність, то.

Отже, за допомогою властивостей векторного добутку ми прийшли до рівності .

За умовою вектори і перпендикулярні, тобто кут між ними дорівнює. Тобто, у нас є всі дані для знаходження необхідної довжини

відповідь:

.

Геометричний сенс векторного твору.

За визначенням довжина векторного добутку векторів дорівнює . А з курсу геометрії середньої школи нам відомо, що площа трикутника дорівнює половині твори довжин двох сторін трикутника на синус кута між ними. Отже, довжина векторного твори дорівнює подвоєною площі трикутника, що має сторонами вектори і, якщо їх відкласти від однієї точки. Іншими словами, довжина векторного добутку векторів і дорівнює площі паралелограма зі сторонами і і кутом між ними, рівним. У цьому полягає геометричний зміст векторного твори.

Перед тим, як дати поняття векторного твори, звернемося до питання про орієнтації впорядкованої трійки векторів a →, b →, c → в тривимірному просторі.

Відкладемо для початку вектори a →, b →, c → від однієї точки. Орієнтація трійки a →, b →, c → буває правої або лівої, в залежності від напрямку самого вектора c →. Від того, в який бік здійснюється найкоротший поворот від вектора a → до b → з кінця вектора c →, буде визначено вид трійки a →, b →, c →.

Якщо найкоротший поворот здійснюється проти годинникової стрілки, то трійка векторів a →, b →, c → називається правою, Якщо за годинниковою стрілкою - лівої.

Далі візьмемо зо два не колінеарних вектора a → і b →. Відкладемо потім від точки A вектори A B → = a → і A C → = b →. Побудуємо вектор A D → = c →, який одночасно перпендикулярний одночасно і A B → і A C →. Таким чином, при побудові самого вектора A D → = c → ми можемо вступити двояко, задавши йому один напрямок, або протилежне (дивіться ілюстрацію).

Упорядкована трійка векторів a →, b →, c → може бути, як ми з'ясували правої або лівої в залежності від напрямку вектора.

З вищесказаного можемо ввести визначення векторного твору. Дане визначення дається для двох векторів, визначених у прямокутній системі координат тривимірного простору.

визначення 1

Векторним твором двох векторів a → і b → будемо називати такий вектор заданий в прямокутній системі координат тривимірного простору такий, що:

• якщо вектори a → і b → колінеарні, він буде нульовим;
• він буде перпендикулярний і вектору a → і вектору b → тобто ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2;
• його довжина визначається за формулою: c → = a → · b → · sin ∠ a →, b →;
• трійка векторів a →, b →, c → має таку ж орієнтацію, що і задана система координат.

Векторний добуток векторів a → і b → має наступне позначення: a → × b →.

Координати векторного твори

Так як будь-який вектор має певні координати в системі координат, то можна ввести друге визначення векторного твору, який дозволить знаходити його координати по заданих координатах векторів.

визначення 2

У прямокутній системі координат тривимірного простору векторних твором двох векторів a → = (a x; a y; a z) і b → = (b x; b y; b z) називають вектор c → = a → × b → = (ay · bz - az · by) · i → + (az · bx - ax · bz) · j → + (ax · by - ay · bx) · k →, де i →, j →, k → є координатними векторами.

Векторний добуток можна представить як визначник квадратної матриці третього порядку, де перший рядок є вектори орти i →, j →, k →, другий рядок містить координати вектора a →, а третя - координати вектора b → в заданій прямокутній системі координат, даний визначник матриці виглядає так: c → = a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz

Розклавши даний визначник за елементами першого рядка, отримаємо рівність: c → = a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz = ayazbybz · i → - axazbxbz · j → + axaybxby · k → = = a → × b → = (ay · bz - az · by) · i → + (az · bx - ax · bz) · j → + (ax · by - ay · bx) · k →

Властивості векторного твори

Відомо, що векторний добуток в координатах представляється як визначник матриці c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z, то на базі властивостей визначника матрицівиводяться наступні властивості векторного твори:

1. антикоммутативність a → × b → = - b → × a →;
2. дистрибутивность a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → або a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) →;
3. асоціативність λ · a → × b → = λ · a → × b → або a → × (λ · b →) = λ · a → × b →, де λ - довільне дійсне число.

Дані властивості мають не складні докази.

Для прикладу можемо довести властивість антикоммутативність векторного твори.

доказ антикоммутативність

За визначенням a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z і b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z. А якщо два рядки матриці переставити місцями, то значення визначника матриці має змінюється на протилежне, отже, a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz = - i → j → k → bxbybzaxayaz = - b → × a →, що і доводить антикоммутативність векторного твори.

Векторний добуток - приклади і рішення

У більшості випадків зустрічаються три типи завдань.

У завданнях першого типу зазвичай задані довжини двох векторів і кут між ними, а потрібно знайти довжину векторного твори. У цьому випадку користуються такою формулою c → = a → · b → · sin ∠ a →, b →.

приклад 1

Знайдіть довжину векторного добутку векторів a → і b →, якщо відомо a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4.

Рішення

За допомогою визначення довжини векторного добутку векторів a → і b → вирішимо цю задач: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a →, b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 2 + 2.

відповідь: 15 2 2 .

Завдання другого типу мають зв'язок з координатами векторів, в них векторний добуток, його довжина і т.д. шукаються через відомі координати заданих векторів a → = (a x; a y; a z) і b → = (b x; b y; b z) .

Для такого типу завдань, можна вирішити масу варіантів завдань. Наприклад, можуть бути задано не координати векторів a → і b →, а їх розкладання по координатним векторах виду b → = b x · i → + b y · j → + b z · k → і c → = a → × b → = (ay · bz - az · by) · i → + (az · bx - ax · bz) · j → + (ax · by - ay · bx) · k →, або вектори a → і b → можуть бути задані координатами точок їх початку і кінця.

Розглянемо наступні приклади.

приклад 2

У прямокутній системі координат задані два вектори a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1). Знайдіть їх векторний добуток.

Рішення

За другим визначенням знайдемо векторний добуток двох векторів в заданих координатах: a → × b → = (ay · bz - az · by) · i → + (az · bx - ax · bz) · j → + (ax · by - ay · bx) · k → = = (1 · 1 - (- 3) · (- 1)) · i → + ((- 3) · 0 - 2 · 1) · j → + (2 · (- 1) - 1 · 0) · k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k →.

Якщо записати векторний добуток через визначник матриці, то рішення даного прикладу виглядає наступним чином: a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 + 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k →.

відповідь: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k →.

приклад 3

Знайдіть довжину векторного добутку векторів i → - j → і i → + j → + k →, де i →, j →, k → - орти прямокутної декартової системи координат.

Рішення

Для початку знайдемо координати заданого векторного твори i → - j → × i → + j → + k → в даній прямокутній системі координат.

Відомо, що вектори i → - j → і i → + j → + k → мають координати (1; - 1; 0) і (1; 1; 1) відповідно. Знайдемо довжину векторного твори за допомогою визначника матриці, тоді маємо i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Отже, векторне твір i → - j → × i → + j → + k → має координати (- 1; - 1; 2) в заданій системі координат.

Довжину векторного твори знайдемо за формулою (див. В розділі знаходження довжини вектора): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 + 2 = 6.

відповідь: i → - j → × i → + j → + k → = 6. .

приклад 4

У прямокутній декартовій системі координат задані координати трьох точок A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2). Знайдіть який-небудь вектор, перпендикулярний A B → і A C → одночасно.

Рішення

Вектори A B → і A C → мають наступні координати (- 1; 2; 2) і (0; 4; 1) відповідно. Знайшовши векторний добуток векторів A B → і A C →, очевидно, що воно є перпендикулярним вектором за визначенням і до A B → і до A C →, тобто, є рішенням нашої задачі. Знайдемо його A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k →.

відповідь: - 6 i → + j → - 4 k →. - один з перпендикулярних векторів.

Завдання третього типу орієнтовані на використання властивостей векторного добутку векторів. Після застосування яких, будемо отримувати рішення конкретного завдання.

приклад 5

Вектори a → і b → перпендикулярні і їх довжини рівні відповідно 3 і 4. Знайдіть довжину векторного твори 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = 3 · a → × a → - 2 · b → + - b → × a → - 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b →.

Рішення

По властивості дистрибутивности векторного твори ми можемо записати 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = 3 · a → × a → - 2 · b → + - b → × a → - 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b →

По властивості асоціативності винесемо числові коефіцієнти за знак векторних творів в останньому виразі: 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · (- 2) · a → × b → + (- 1) · b → × a → + (- 1) · (- 2) · b → × b → = = 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → × a → + 2 · b → × b →

Векторні твори a → × a → і b → × b → рівні 0, так як a → × a → = a → · a → · sin 0 = 0 і b → × b → = b → · b → · sin 0 = 0, тоді 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → × a → + 2 · b → × b → = - 6 · a → × b → - b → × a →. .

З антикоммутативність векторного твори слід - 6 · a → × b → - b → × a → = - 6 · a → × b → - (- 1) · a → × b → = - 5 · a → × b →. .

Скориставшись властивостями векторного твори, отримуємо рівність 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b →.

За умовою вектори a → і b → перпендикулярні, тобто кут між ними дорівнює π 2. Тепер залишається лише підставити знайдені значення у відповідні формули: 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = - 5 · a → × b → = = 5 · a → × b → = 5 · a → · b → · sin (a →, b →) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60.

відповідь: 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = 60.

Довжина векторного добутку векторів по орпеделенію дорівнює a → × b → = a → · b → · sin ∠ a →, b →. Так як вже відомо (з шкільного курсу), що площа трикутника дорівнює половині твори довжин двох його сторін помножене на синус кута між даними сторонами. Отже, довжина векторного твори дорівнює площі паралелограма - подвоєного трикутника, а саме твору сторін у вигляді векторів a → і b →, відкладені від однієї точки, на синус кута між ними sin ∠ a →, b →.

Це і є геометричний сенс векторного твору.

Фізичний сенс векторного твору

У механіці, одному з розділів фізики, завдяки векторному добутку можна визначити момент сили відносно точки простору.

визначення 3

Під моментом сили F →, прикладеного до точки B, щодо точки A будемо розуміти наступне векторне твір A B → × F →.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl + Enter

7.1. Визначення векторного твори

Три некомпланарних вектора a, b і с, взяті в зазначеному порядку, утворюють праву трійку, якщо з кінця третього вектора з найкоротший поворот від першого вектора а до другого вектору b видно совершающимся проти годинникової стрілки, і ліву, якщо за годинниковою (див. Рис . 16).

Векторним твором вектора а на вектор b називається вектор с, який:

1. перпендикулярний вектору a і b, т. Е. З ^ а й з ^ b;

2. Має довжину, чисельно рівну площі паралелограма, побудованого на векторах а йbяк на сторонах (див. рис. 17), т. е.

3. Вектори a, b і з утворюють праву трійку.

Векторний добуток позначається а х b або [а, b]. З визначення векторного твору безпосередньо випливають такі співвідношення між ортами i, jі k(Див. Рис. 18):

i х j = k, j х k = i, k х i = j.
Доведемо, наприклад, що i хj = k.

1) k ^ i, k ^ j;

2) | k | = 1, але | i x j| = | I | | J | sin (90 °) = 1;

3) вектори i, j і kутворюють праву трійку (див. рис. 16).

7.2. Властивості векторного твори

1. При перестановці співмножників векторний добуток змінює знак, тобто а Хb = (b Хa) (див. рис. 19).

Вектори а Хb і b ха колінеарні, мають однакові модулі (площа паралелограма залишається незмінною), але протилежно спрямовані (трійки а, b, а Хb і a, b, b x a протилежної орієнтації). Стало бути a xb = -(b xa).

2. Векторний добуток має сполучна властивості щодо скалярного множника, т. Е. L (а Хb) = (l а) х b = а х (l b).

Нехай l> 0. Вектор l (а Хb) перпендикулярний векторах а й b. вектор ( lа) х bтакож перпендикулярний векторах а й b(Вектори а, lа лежать в одній площині). Значить, вектори l(А Хb) і ( lа) х bколінеарні. Очевидно, що і напрямки їх збігаються. Мають однакову довжину:

Тому l(A Хb) = lа Хb. Аналогічно доводиться при l<0.

3. Два ненульових вектора а і bколінеарні тоді і тільки тоді, коли їх векторний добуток одно нульового вектору, т. е. а || b<=>а Хb = 0.

Зокрема, i * i = j * j = k * k = 0.

4. Векторний добуток має розподільчим властивістю:

(a + b)хс = а хс + bхс.

Приймемо без доведення.

7.3. Вираз векторного твори через координати

Ми будемо використовувати таблицю векторного добутку векторів i, jі k:

якщо напрямок найкоротшого шляху від першого вектора до другого збігається з напрямком стрілки, то добуток дорівнює третьому вектору, якщо не збігається - третій вектор береться зі знаком «мінус».

Нехай задані два вектори а = а х i + a y j+ A z kі b = b x i+ B y j+ B z k. Знайдемо векторний добуток цих векторів, перемножая їх як многочлени (згідно властивостей векторного добутку):

Отриману формулу можна записати ще коротше:

так як права частина рівності (7.1) відповідає розкладанню визначника третього порядку за елементами першої строкі.Равенство (7.2) легко запам'ятовується.

7.4. Деякі додатки векторного твори

Встановлення коллинеарности векторів

Знаходження площі паралелограма і трикутника

Згідно з визначенням векторного добутку векторів аі b | А Хb | =| А | * | B | sin g, т. Е. S пар = | а х b |. І, значить, D S = 1/2 | а х b |.

Визначення моменту сили відносно точки

Нехай в точці А прикладена сила F = АВі нехай Про- деяка точка простору (див. Рис. 20).

З фізики відомо, що моментом сі ли F щодо точки Проназивається вектор М,який проходить через точку Проі:

1) перпендикулярний до площини, що проходить через точки О, А, В;

2) чисельно дорівнює добутку сили на плече

3) утворює праву трійку з векторами ОА і A В.

Стало бути, М = ОА х F.

Знаходження лінійної швидкості обертання

швидкість vточки М твердого тіла, що обертається з кутовою швидкістю wнавколо нерухомої осі, визначається формулою Ейлера v = w хr, де r = ОМ, де О-деяка нерухома точка осі (див. рис. 21).

Змішана ТВІР ТРЬОХ ВЕКТОРІВ І ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ

змішаним творомтрьох векторів називають число, що дорівнює. позначається . Тут перші два вектора множаться векторно і потім отриманий вектор множиться скалярно на третій вектор. Очевидно, такий твір є деяке число.

Розглянемо властивості змішаного твори.

1. геометричний сенсзмішаного твори. Змішане твір 3-х векторів з точністю до знака дорівнює обсягу паралелепіпеда, побудованого на цих векторах, як на ребрах, тобто .

   Таким чином, і .

   

   Доведення. Відкладемо вектори від загального початку і побудуємо на них паралелепіпед. Позначимо і зауважимо, що. За визначенням скалярного твори

   Припускаючи, що і позначивши через hвисоту паралелепіпеда, знаходимо.

   Таким чином, при

   Якщо ж, то і. Отже,.

   Об'єднуючи обидва ці випадки, отримуємо або.

   З докази цього властивості зокрема випливає, що якщо трійка векторів права, то мішаний добуток, а якщо - ліва, то.

2. Для будь-яких векторів,, справедливо рівність

   Доказ цієї властивості випливає з властивості 1. Дійсно, легко показати, що і. Причому знаки "+" і "-" беруться одночасно, тому що кути між векторами і і і одночасно гострі або тупі.

3. При перестановці будь-яких двох співмножників мішаний добуток змінює знак.

   Дійсно, якщо розглянемо змішане твір, то, наприклад, або

4. Змішане твір тоді і тільки тоді, коли один із співмножників дорівнює нулю або вектори - компланарні.

   Доведення.

   Т.ч., необхідною і достатньою умовою компланарності 3-х векторів є рівність нулю їх мішаного добутку. Крім того, це означає, що три вектори утворюють базис в просторі, якщо.

   Якщо вектори задані в координатної формі, то можна показати, що їх змішане твір знаходиться за формулою:

   .

   Т. о., Мішаний добуток дорівнює визначнику третього порядку, у якого в першому рядку стоять координати першого вектора, у другому рядку - координати другого вектора і в третьому рядку - третього вектора.

   Приклади.

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ В ПРОСТОРІ

рівняння F (x, y, z)= 0 визначає в просторі Oxyzдеяку поверхню, тобто геометричне місце точок, координати яких x, y, zзадовольняють цьому рівнянню. Це рівняння називається рівнянням поверхні, а x, y, z- поточними координатами.

Однак, часто поверхню задає не рівнянням, а як безліч точок простору, що володіють тим чи іншим властивістю. В цьому випадку потрібно знайти рівняння поверхні, виходячи з її геометричних властивостей.

ПЛОЩИНУ.

НОРМАЛЬНИЙ ВЕКТОР ПЛОЩИНІ.

Рівняння ПЛОЩИНІ, проходить через цю точку

Розглянемо в просторі довільну плоскостьσ. Її положення визначається завданням вектора, перпендикулярного цій площині, і деякої фіксованої точки M 0(x 0, y 0, z 0), Що лежить в площині σ.

Вектор перпендикулярний площині σ, називається нормальнимвектором цієї площини. Нехай вектор має координати.

Виведемо рівняння площини σ, що проходить через дану точку M 0і має нормальний вектор. Для цього візьмемо на площині σ довільну точку M (x, y, z)і розглянемо вектор.

Для будь-якої точки MÎ σ вектор .Тому їх скалярний добуток дорівнює нулю. Це рівність - умова того, що точка MÎ σ. Воно справедливо для всіх точок цієї площини і порушується, як тільки точка Mвиявиться поза площиною σ.

Якщо позначити через радіус-вектор точки M, - радіус-вектор точки M 0, То і рівняння можна записати у вигляді

Це рівняння називається векторнихрівнянням площини. Запишемо його в координатної формі. Так як, то

Отже, ми отримали рівняння площини, що проходить через дану точку. Таким чином, для того щоб скласти рівняння площини, потрібно знати координати нормального вектора і координати деякої точки, що лежить на площині.

Зауважимо, що рівняння площини є рівнянням 1-го ступеня щодо поточних координат x, yі z.

Приклади.

ЗАГАЛЬНИЙ РІВНЯННЯ ПЛОЩИНІ

Можна показати, що будь-яке рівняння першого ступеня щодо декартових координат x, y, zявляє собою рівняння деякої площини. Це рівняння записується у вигляді:

Ax + By + Cz + D=0

і називається загальним рівняннямплощині, причому координати A, B, Cтут є координатами нормального вектора площини.

Розглянемо окремі випадки загального рівняння. З'ясуємо, як розташовується площину щодо системи координат, якщо один або декілька коефіцієнтів рівняння звертаються в нуль.

A - це довжина відрізка, що відсікається площиною на осі Ox. Аналогічно, можна показати, що bі c- довжини відрізків, що відсікаються розглянутої площиною на осях Oyі Oz.

Рівнянням площини у відрізках зручно користуватися для побудови площин.

На даному уроці ми розглянемо ще дві операції з векторами: векторний добуток векторіві мішаний добуток векторів (Відразу посилання, кому потрібно саме воно). Нічого страшного, так іноді буває, що для повного щастя, крім скалярного твори векторів, Потрібно ще і ще. Така ось векторна наркоманія. Може скластися враження, що ми залазимо в нетрі аналітичної геометрії. Це не так. В даному розділі вищої математики взагалі мало дров, хіба що на Буратіно вистачить. Насправді матеріал дуже поширений і простий - навряд чи складніше, ніж той же скалярний твір, Навіть типових задач поменше буде. Головне в аналітичної геометрії, як багато переконаються або вже переконалися, не помиляється в обчисленнях. Повторюйте як заклинання, і буде вам щастя =)

Якщо вектори виблискують десь далеко, як блискавки на горизонті, не біда, почніть з уроку Вектори для чайників, Щоб відновити або знову придбати базові знання про вектори. Більш підготовлені читачі можуть знайомитися з інформацією вибірково, я постарався зібрати максимально повну колекцію прикладів, які часто зустрічаються в практичних роботах

Чим вас відразу порадувати? Коли я був маленьким, то вмів жонглювати двома і навіть трьома кульками. Спритно виходило. Зараз жонглювати не доведеться взагалі, оскільки ми будемо розглядати тільки просторові вектори, А плоскі вектори з двома координатами залишаться за бортом. Чому? Такими вже народилися дані дії - векторне і змішане твір векторів визначені і працюють в тривимірному просторі. Вже простіше!

У даній операції, точно так же, як і в скалярному творі, беруть участь два вектора. Нехай це будуть нетлінні літери.

сама дія позначаєтьсянаступним чином: . Існують і інші варіанти, але я звик позначати векторний добуток векторів саме так, в квадратних дужках з хрестиком.

І відразу питання: якщо в скалярном творі векторівберуть участь два вектора, і тут теж множаться два вектора, тоді в чому різниця? Явна різниця, перш за все, в РЕЗУЛЬТАТІ:

Результатом скалярного твори векторів є ЧИСЛО:

Результатом векторного добутку векторів є ВЕКТОР:, Тобто множимо вектори і отримуємо знову вектор. Закритий клуб. Власне, звідси і назва операції. У різній навчальній літературі позначення теж можуть варіюватися, я буду використовувати букву.

Визначення векторного твори

Спочатку буде визначення з картинкою, потім коментарі.

визначення: Векторним твором неколінеарнихвекторів, взятих в даному порядку, Називається ВЕКТОР, довжинаякого чисельно дорівнює площі паралелограма, Побудованого на даних векторах; вектор ортогонален векторах, І спрямований так, що базис має праву орієнтацію:

Розбираємо визначення по кісточках, тут багато цікавого!

Отже, можна виділити такі суттєві моменти:

1) Вихідні вектори, позначені червоними стрілками, за визначенням НЕ колінеарні. Випадок колінеарних векторів буде доречно розглянути трохи пізніше.

2) Вектори взяті в строго певному порядку: – «А» множиться на «бе», А не «бе» на «а». Результатом множення векторівє ВЕКТОР, який позначений синім кольором. Якщо вектори помножити в зворотному порядку, то отримаємо рівний по довжині і протилежний по напрямку вектор (малиновий колір). Тобто, справедливо рівність .

3) Тепер познайомимося з геометричним змістом векторного твори. Це дуже важливий пункт! ДОВЖИНА синього вектора (а, значить, і малинового вектора) чисельно дорівнює ПЛОЩІ паралелограма, побудованого на векторах. На малюнку даний паралелограм заштрихован чорним кольором.

Примітка : Креслення є схематичним, і, природно, номінальна довжина векторного твори не дорівнює площі паралелограма.

Згадуємо одну з геометричних формул: площа паралелограма дорівнює добутку суміжних сторін на синус кута між ними. Тому, виходячи з вищесказаного, справедлива формула обчислення ДОВЖИНИ векторного твори:

Підкреслюю, що у формулі мова йде про ДОВЖИНІ вектора, а не про сам вектор. Який практичний сенс? А сенс такий, що в задачах аналітичної геометрії площа паралелограма часто знаходять через поняття векторного твори:

Отримаємо другу важливу формулу. Діагональ паралелограма (червоний пунктир) ділить його на два рівних трикутника. Отже, площа трикутника, побудованого на векторах (червона штриховка), можна знайти за формулою:

4) Не менш важливий факт полягає в тому, що вектор ортогональний векторам, тобто . Зрозуміло, протилежно спрямований вектор (малинова стрілка) теж ортогонален вихідним векторах.

5) Вектор спрямований так, що базисмає правуорієнтацію. На уроці про переході до нового базисуя досить докладно розповів про орієнтації площини, І зараз ми розберемося, що таке орієнтація простору. Пояснювати буду на пальцях вашої правої руки. подумки вирівняйте вказівний палецьз вектором і середній палецьз вектором. Безіменний палець і мізинецьпритисніть до долоні. В результаті великий палець- векторний добуток буде дивитися вгору. Це і є правоорієнтованого базис (на малюнку саме він). Тепер поміняйте вектори ( вказівний і середній пальці) Місцями, в результаті великий палець розгорнеться, і векторний добуток вже буде дивитися вниз. Це теж правоорієнтованого базис. Можливо, у вас виникло питання: а який базис має ліву орієнтацію? «Дайте» тих же пальців лівої рукивектори, і отримати лівий базис і ліву орієнтацію простору (В цьому випадку великий палець розташується у напрямку нижнього вектора). Образно кажучи, дані базиси «закручують» або орієнтують простір в різні боки. І це поняття не слід вважати чимось надуманим або абстрактним - так, наприклад, орієнтацію простору змінює саме звичайне дзеркало, і якщо «витягнути відбитий об'єкт із задзеркалля», то його в загальному випадку не вдасться поєднати з «оригіналом». До речі, піднесіть до дзеркала три пальці і проаналізуйте відображення ;-)

... як все-таки добре, що ви тепер знаєте про право- і лівоорієнтованихбазисах, бо страшно висловлювання деяких лекторів про зміну орієнтації =)

Векторний добуток колінеарних векторів

Визначення докладно розібрано, залишилося з'ясувати, що відбувається, коли вектори колінеарні. Якщо вектори колінеарні, то їх можна розташувати на одній прямій і наш паралелограм теж «складається» в одну пряму. Площа такого, як кажуть математики, виродженогопаралелограма дорівнює нулю. Це ж випливає і з формули - синус нуля або 180-ти градусів дорівнює нулю, а значить, і площа нульова

Таким чином, якщо, то і . Зверніть увагу, що саме векторний добуток одно нульового вектору, але на практиці цим часто нехтують і пишуть, що воно теж дорівнює нулю.

Окремий випадок - векторний добуток вектора на самого себе:

За допомогою векторного твори можна перевіряти коллинеарность тривимірних векторів, і це завдання серед інших ми теж розберемо.

Для вирішення практичних прикладів може знадобитися тригонометрическая таблиця, Щоб знаходити по ній значення синусів.

Ну що ж, розпалюємо вогонь:

приклад 1

а) Знайти довжину векторного добутку векторів, якщо

б) Знайти площу паралелограма, побудованого на векторах, якщо

Рішення: Ні, це не помилка, вихідні дані в пунктах умови я навмисно зробив однаковими. Тому що оформлення рішень буде відрізнятися!

а) За умовою потрібно знайти довжинувектора (векторного твори). За відповідною формулою:

відповідь:

Коль скоро питалося про довжину, то у відповіді вказуємо розмірність - одиниці.

б) За умовою потрібно знайти площапаралелограма, побудованого на векторах. Площа даного паралелограма чисельно дорівнює довжині векторного твори:

відповідь:

Зверніть увагу, що у відповіді про векторному добутку мови не йде взагалі, нас запитували про площі фігури, Відповідно, розмірність - квадратні одиниці.

Завжди дивимося, ЩО потрібно знайти за умовою, і, виходячи з цього, формулюємо чіткийвідповідь. Може здатися буквоїдством, але буквоїдів серед викладачів вистачає, і завдання з хорошими шансами повернеться на доопрацювання. Хоча це не особливо натягнута зачіпка - якщо відповідь некоректна, то складається враження, що людина не розбирається в простих речах і / або не вник в суть завдання. Цей момент завжди потрібно тримати на контролі, вирішуючи будь-яке завдання з вищої математики, так і з інших предметів теж.

Куди поділася велика буква «ен»? В принципі, її можна було додатково приліпити в рішення, але в цілях скоротити запис, я цього не зробив. Сподіваюся, всім зрозуміло, що і - це позначення одного і того ж.

Популярний приклад для самостійного рішення:

приклад 2

Знайти площу трикутника, побудованого на векторах, якщо

Формула знаходження площі трикутника через векторний добуток дана в коментарях до визначення. Рішення і відповідь в кінці уроку.

На практиці завдання дійсно дуже поширена, трикутниками взагалі можуть замучити.

Для вирішення інших завдань нам знадобляться:

Властивості векторного добутку векторів

Деякі властивості векторного добутку ми вже розглянули, тим не менш, я їх включу в даний список.

Для довільних векторів і довільного числа справедливі такі властивості:

1) В інших джерелах інформації даний пункт зазвичай не виділяють у властивостях, але він дуже важливий в практичному плані. Тому нехай буде.

2) - властивість теж розібрано вище, іноді його називають антикоммутативність. Іншими словами, порядок векторів має значення.

3) - асоціативні або асоціативнізакони векторного твори. Константи безпроблемно виносяться за межі векторного твори. Дійсно, чого їм там робити?

4) - розподільні або дистрибутивнізакони векторного твори. З розкриттям дужок теж немає проблем.

В якості демонстрації розглянемо коротенький приклад:

приклад 3

Знайти, якщо

Рішення:За умовою знову потрібно знайти довжину векторного твори. Розпишемо нашу мініатюру:

(1) Відповідно до асоціативних законів, виносимо константи за переділи векторного твори.

(2) Виносимо константу за межі модуля, при цьому модуль «з'їдає» знак «мінус». Довжина ж не може бути негативною.

(3) Подальше зрозуміло.

відповідь:

Пора підкинути дров у вогонь:

приклад 4

Обчислити площу трикутника, побудованого на векторах, якщо

Рішення: Площа трикутника знайдемо за формулою . Заковика полягає в тому, що вектори «це» і «де» самі представлені у вигляді сум векторів. Алгоритм тут стандартний і чимось нагадує приклади № 3 і 4 уроки Скалярний добуток векторів. Рішення для ясності розіб'ємо на три етапи:

1) На першому кроці висловимо векторний добуток через векторний добуток, по суті, висловимо вектор через вектор. Про довжинах поки ні слова!

(1) Підставляємо вирази векторів.

(2) Використовуючи дистрибутивні закони, розкриваємо дужки за правилом множення многочленів.

(3) Використовуючи асоціативні закони, виносимо все константи за межі векторних творів. При маломальской досвіді дії 2 і 3 можна виконувати одночасно.

(4) Перше і останнє доданок дорівнює нулю (нульового вектору) завдяки приємному властивості. У другому доданку використовуємо властивість антикоммутативність векторного твори:

(5) Наводимо подібні доданки.

В результаті вектор опинився виражений через вектор, чого й треба було досягти:

2) На другому кроці знайдемо довжину потрібного нам векторного твори. Дана дія нагадує Приклад 3:

3) Знайдемо площу шуканого трикутника:

Етапи 2-3 рішення можна було оформити і одним рядком.

відповідь:

Розглянута задача досить поширена в контрольних роботах, ось приклад для самостійного рішення:

приклад 5

Знайти, якщо

Короткий рішення і відповідь в кінці уроку. Подивимося, наскільки ви були уважні при вивченні попередніх прикладів ;-)

Векторний добуток векторів в координатах

, Заданих в ортонормированном базисі, виражається формулою:

Формула і правда простацька: у верхній рядок визначника записуємо координатні вектори, в другу і третю рядки «укладаємо» координати векторів, причому укладаємо в строгому порядку- спочатку координати вектора «ве», потім координати вектора «дубль-ве». Якщо вектори потрібно помножити в іншому порядку, то і рядки слід поміняти місцями:

приклад 10

Перевірити, чи будуть колінеарні наступні вектори простору:
а)
б)

Рішення: Перевірка заснована на одному з тверджень даного уроку: якщо вектори колінеарні, то їх векторний добуток дорівнює нулю (нульового вектору): .

а) Знайдемо векторний добуток:

Таким чином, вектори НЕ колінеарні.

б) Знайдемо векторний добуток:

відповідь: A) не колінеарні, б)

Ось, мабуть, і всі основні відомості про векторному добутку векторів.

Даний розділ буде не дуже великим, так як задач, де використовується змішане твір векторів, небагато. Фактично все буде впиратися в визначення, геометричний сенс і пару робочих формул.

Змішане твір векторів - це твір трьох векторів:

Ось так ось вони вишикувалися паровозиком і чекають, не дочекаються, коли їх вирахують.

Спочатку знову визначення і картинка:

визначення: Змішаним твором некомпланарнихвекторів, взятих в даному порядку, називається обсяг паралелепіпеда, Побудованого на даних векторах, забезпечений знаком «+», якщо базис правий, і знаком «-», якщо базис лівий.

Виконаємо малюнок. Невидимі нам лінії прокреслені пунктиром:

Занурюємося в визначення:

2) Вектори взяті в певному порядку, Тобто перестановка векторів в творі, як ви здогадуєтеся, не проходить без наслідків.

3) Перед тим, як прокоментувати геометричний сенс, зазначу очевидний факт: мішаний добуток векторів є ЧИСЛОМ:. У навчальній літературі оформлення може бути дещо іншим, я звик позначати мішаний добуток через, а результат обчислень буквою «пе».

За визначенням змішане твір - це обсяг паралелепіпеда, Побудованого на векторах (фігура прокреслена червоними векторами і лініями чорного кольору). Тобто, число дорівнює обсягу даного паралелепіпеда.

Примітка : Креслення є схематичним.

4) Не будемо заново паритися з поняттям орієнтації базису і простору. Сенс заключній частині полягає в тому, що до обсягу може додаватися знак мінус. Простими словами, змішане твір може бути негативним:.

Безпосередньо з визначення випливає формула обчислення обсягу паралелепіпеда, побудованого на векторах.

Схожі статті