У 8 класі школярі під час уроків математики знайомляться з таким поняттям, як «радикал» чи, попросту кажучи, «корінь». Тоді ж вони вперше стикаються із такою проблемою, як спрощення складних радикалів. Складні радикали – це вирази, у яких один корінь перебуває під іншим. Тому їх іноді називають вкладеними радикалами. У цій статті репетитор з математики та фізики докладно розповідає про те, як спростити складний радикал.
Методи спрощення складних радикалів
Спростити складний радикал — отже, позбутися зовнішнього кореня. Найправильніше розпочати вивчення цієї теми зі спрощення подвійних радикалів. Адже якщо ми навчимося спрощувати подвійні радикали, то й складніші теж зуміємо.
Як позбутися зовнішнього кореня? Зрозуміло, що для цього потрібно перетворити підкорене вираз, представивши його як повний квадрат. Для цього скористаємося відомою формулою «Квадрат різниці»:
Тут, як бачите, праворуч у негативного члена є множник. Тому і під коренем давайте отримаємо цей множник. Для цього представимо у вигляді твору на:
Тоді і . Залишилося тільки звернути увагу на те, що 
. Тепер видно, що під корінням у нас вийшов квадрат різниці:
Тепер згадуємо, що . Саме модулю. Тут це дуже важливо, тому що квадратне коріння – позитивне число. Тоді отримуємо:
Ну а оскільки title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="21" width="61" style="vertical-align: -3px;">, модуль раскрывается со знаком минус. В результате в ответе получаем:!}
Ось так просто нам удалося спростити цей радикал. Але є й складніші випадки, коли відразу вдається здогадатися, як уявити підкорене вираз вигляді повного квадрата. Наприклад, у наступному прикладі.
Щоб довго не ламати голову, можна скористатися в такий спосіб.
Нагадую, що наша мета полягає в тому, щоб подати вираз під коренем у вигляді повного квадрата. Саме у цьому прикладі як квадрата суми:
Ну, а квадрат суми розкривається за відомою формулою, яку ми сьогодні вже писали:
Так ось, ідея, власне, полягає в тому, щоб взяти ірраціональну частину підкореного висловлювання, а за раціональну. Тоді виходить така система рівнянь:
Відомо, що і . Інакше не виконується друге рівняння системи. Тоді виражаємо коефіцієнт другого рівняння:
Знаменник цього дробу не дорівнює нулю, отже, нулю дорівнює його чисельник. Отримуємо біквадратне рівняння, яке вирішується стандартним способом (докладніше дивіться у доданому відео). Вирішуючи його, ми отримуємо аж 4 корені. Можна взяти будь-хто. Мені більше подобається . Тоді. Отже, отримуємо остаточно:
Ось такий спосіб, як спростити складний радикал. Є ще один. Для любителів запам'ятовувати складні формули, яким я не є. Але для повноти опису розповім і про нього теж.
Формула складних радикалів
Ось так виглядає ця формула:
Досить страшна, чи не так? Але не бійтеся, її справді можна успішно застосовувати в деяких випадках. Розберемо з прикладу:
Підставляємо у формулу відповідні значення:
Ось така виходить відповідь.
Отже, сьогодні на занятті я розповів, як спростити складний радикал. Якщо ви не знали раніше методи, про які сьогодні йшлося, то швидше за все вам ще потрібно дуже багато чого навчитися, щоб почуватися впевненим на ЄДІ або на вступному іспиті з математики. Але не переживайте, я можу вас усьому цьому навчити. Вся необхідна інформація про мої заняття знаходиться на . Удачі вам!
Матеріал підготував, Сергій Валерійович
Практичне заняття
Тема: Перетворення числових та літерних виразів, що містять радикали.
Цілі :
Освітня:продовжити формування у студентів умінь застосовувати властивості ступенів і коріння при перетворенні виразів.
Виховна:виховання самостійності, творчого підходу до вирішення завдань.
Розвиваюча:розвиток логічного мислення, навичок порівняльного аналізу
Обладнання: дошка, комп'ютер, проектор, екран, записи на дошці, плакати з формулами на тему: «Ступені» та «Коріння», індивідуальні картки-завдання.
Використання елементів педагогічних технологій:
1. співробітництва;
2. здоров'язберігаючих (чергування видів діяльності);
3. інформаційно-комунікаційних;
4. розвиваючих;
5. особистісно-орієнтованих.
Результативність:
формування компетенцій: ціннісно-смислової, навчально-пізнавальної, комунікативної, особистого самовдосконалення.
План заняття.
1) Підготовчий етап.
1) Перевірка засвоєння пройденого матеріалу фронтально (чи індивідуально) з наступних питань (на екран проектуються питання, куди студенти відповідають усно).
1. Що означає звести число до ступеня n?
2. Як перемножити два ступені з однаковими основами?
3. Як поділити два ступені з однаковими основами?
4. Як звести ступінь у ступінь?
5. Як отримати корінь зі ступеня?
6. Чому дорівнює нульовий ступінь числа?
7. Як визначити ступінь із негативним показником?
9. Як знайти корінь із дробовим показником?
10. Сформулюйте основну властивість кореня.
11. Як витягти корінь із твору?
12. Як витягти корінь із дробу?
13. Як отримати корінь зі ступеня?
14. Як відбувається множення коренів однакового ступеня?
15. Як відбувається множення коренів різних ступенів?
16. Як виробляється розподіл коренів однакового ступеня?
17. Як проводиться зведення кореня до ступеня?
2) Повторити:
| властивості коренів | властивості ступенів |
2) Теоретичний етап.
Застосування знань під час вирішення типових завдань.
Завдання 1. Привести до загального показника коріння:
Завдання 2.
Завдання 3.Вийняти корінь:
Завдання 4.Виконайте дії:
Завдання5 . Обчисліть:
3) практичний етап.
Самостійне застосування умінь та знань.
Провести самостійну роботу у 15 варіантах.
1. Привести до загального показника коріння:
2.Скоротити показники коренів та підкорених виразів:
3. Вийняти корінь:
4. Виконайте дії:
5. Обчисліть:
Список літератури.
1. Алімов Ш.А. та ін.Математика: алгебра та початку математичного аналізу, геометрія. Алгебра та початку математичного аналізу (базовий та поглиблений рівні).10-11 класи. – М., 2014.
2. Богомолов Н.В.Математика: підручник для прикладного бакалаврату/Н.В. Богомолов, П.І. Самійленка. - 5-те вид., Перероб. та дод. - М.: Видавництво Юрайт, 2014.
Алгебраїчні вирази, в записи яких використовуються не тільки чотири раціональні дії, але також знаки радикала (з літерних виразів), ми називаємо ірраціональними виразами алгебри.
Такі, наприклад, вирази
При визначенні о. д. з. ірраціональних алгебраїчних виразів слід враховувати, що вирази, що знаходяться під знаком радикала парного ступеня, не повинні бути негативними.
Приклад 1. Знайти о. д. з. вирази
та його значення при .
Рішення. О. д. з. визначаємо з умов. Знаходимо, що о. д. з. визначається нерівностями. При обчисленні значення у заданій точці отримуємо
При перетворенні ірраціональних виразів алгебри використовуються всі правила дій з корінням (гл. I, § 2). Розглянемо спочатку можливі спрощення виразу типу «корінь із одночлена» або «корінь із приватного двох одночленів». Будемо говорити, що корінь приведений до найпростішої форми, якщо: 1) він містить ірраціональності в знаменнику, 2) у ньому не можна скоротити його показник із показником підкореного висловлювання і, нарешті, 3) всі можливі множники винесені з-під кореня. Будь-який даний корінь може бути приведений до найпростішої форми, тобто замінений тотожно рівним йому, але таким, що відповідає всім трьом перерахованим умовам.
Приклад 2. Привести до найпростішої форми наступне коріння:
Рішення, а) Скорочуємо на 3 показник кореня та показник ступенів кожного із співмножників підкореного виразу
Виносимо з-під знаку кореня множники а і;
Коріння, найпростіші форми яких відрізняються, можливо, лише коефіцієнтами (числовими або буквеними), прийнято називати подібними. Наприклад, коріння і подібне, тому що а коріння не подібне, так як
При складанні та відніманні подібних коренів всі вони наводяться до найпростішої форми, а потім корінь виноситься за дужки.
Приклад 3. Зробити вказані дії:
Рішення. Наведемо кожен із коренів до найпростішої форми:
Тепер знаходимо (все коріння виявилося подібним)
При винесенні співмножників з-під знака кореня парного ступеня слід пам'ятати, що корінь розуміється в арифметичному значенні. Так, якщо знаки а, b не вказані, слід писати не . Тут о. д. з. складається не тільки зі значень, але і зі значень
Приклад 4. Спростити вираз
Можливі такі випадки:
Якщо не припускати заздалегідь, що , то рішення прикладу ще ускладниться, тому що доведеться записати відповідь у загальній формі:
а потім розбирати чотири можливі випадки: . Надаємо завершити цей розбір читачеві.
У прикладі, який ми зараз вирішували, підкорені вирази представлялися як точні квадрати деяких двочленів у очевидний спосіб. У деяких випадках таке уявлення підкореного виразу виробляється менш очевидним чином. Так, іноді можна спростити радикали виду
Клас: 8
Цілі уроку:
Навчальна:
- Поглибити знання учнів на тему квадратне коріння та узагальнити навчальний матеріал.
- Ознайомити учнів із поняттям подвійного радикала.
- Навчити перетворювати подвійні радикали виділенням повного квадрата підкореного виразу.
- Навчити учнів використати формулу подвійного радикала.
- Розвивати вміння та навички роботи з ірраціональними виразами.
Розвиваюча:
- Розвиток уваги учнів.
- Розвиток уміння досягати результатів праці.
- Розвиток інтересу до вивчення алгебри та навичок самостійної роботи.
Виховує:
- Виховання почуття колективізму.
- Формування почуття відповідальності результат роботи.
- Формування в учнів адекватної самооцінки під час виборів позначки роботу на уроці.
Обладнання:комп'ютер, проектор.
Хід уроку
1 етап роботи. Організаційний момент.
2 етап роботи. Мотивація та вихід на постановку проблеми
До восьмого класу ми здійснювали над числами п'ять арифметичних дій: додавання, віднімання, множення, розподіл і зведення в ступінь, причому при обчислення ми активно використовували різні властивості цих операцій.
У курсі алгебри восьмого класу було запроваджено нову операцію – вилучення квадратного кореня з неотрицательного числа. Вирази, що містять операцію вилучення квадратного кореня, називаються ірраціональними.
У великому тлумачному словнику можна знайти таке визначення ірраціональності:
З філософської точки зору ірраціональність – недоступність розуму, те, що не може бути осягнуто розумом, що явно не підкоряється законам логіки, і не може бути виражене в логічних поняттях, що оцінюється як «надрозумне». З математичної точки зору ірраціональність - несумірність з одиницею; не є ні цілою, ні дрібною величиною.
Чи справді поняття ірраціональності – це щось «розуму не розуміння, незрівнянне, немислиме»?
На це питання ми сьогодні постараємося знайти відповідь.
3 етап роботи. Повторення раніше вивченого матеріалу
1) Властивості квадратного кореня
Щоб успішно виконувати перетворення виразів, що містять операцію отримання квадратного кореня, потрібно знати властивості цієї операції.
Згадаймо ці властивості:
1) Квадратний корінь із добутку двох невід'ємних чисел дорівнює добутку квадратного коріння з цих чисел.
2) Якщо a≥0, b>0, то справедлива рівність
3) Якщо a≥0 та n – натуральне число, то
4) За будь-якого a справедливо тотожність
Якщо добре знати прийоми перетворення раціональних виразів, прийоми перетворення алгебраїчних дробів, засвоїти визначення поняття кореня та властивості квадратного кореня, вміти вносити множник під знак квадратного кореня, виносити множник з-під знака квадратного кореня, то можна виконати перетворення будь-якого виразу, що містить операцію вилучення кореня.
2) Способи перетворення радикалів
Крім перелічених теорем при перетворенні радикалів застосовуються деякі спеціальні прийоми, що теж випливають із цих теорем, але потребують деякого навички.
Перший називається знищенням ірраціональності у знаменнику дробу. Якщо в знаменнику дробу є корінь або кілька коренів, то поводитися з таким дробом не зовсім зручно. Сенс цього прийому у тому, що треба підібрати такий множник, щоб його твір на знаменник не містило коріння.
Друге Цікаве перетворення радикалів називається перетворенням подвійного радикала.
4 етап роботи. Ввести поняття подвійного радикала та довести формулу складного радикала.
Вирази виду і називають подвійними радикалами чи складними радикалами. Перетворити подвійний радикале це означає позбутися зовнішнього радикала.
Справедливі тотожності
При 
кожне підкорене вираз невід'ємний.
Доведемо ці рівності (доводить учень):
І тому зведемо у квадрат обидві частини даних виразів, скориставшись у своїй формулою квадрата суми (різниці) двох чисел і формулою різниці квадратів.
Зведемо в квадрат ліву частину:
Зведемо в квадрат праву частину:
=
∙
= =
=
= =
=
=
Зауважимо, що доведене тотожність дозволяє суттєво полегшити обчислення та перетворення, якщо вираз представляє повний квадрат.
5 етап роботи. Розглянемо методи перетворення подвійного радикала.
1 спосіб:
Можна виконати алгебраїчні дії у певному вираженні, що містить подвійні радикали.
Приклади:
=
= = = = =
=
= = = = =
=
= = = = =
2 спосіб
Можна привести підкорене вираз до повного квадрата.
Приклади:
Отже, якщо підкорене вираз у вигляді повного квадрата, можна легко звільнитися від зовнішнього радикала.
Спробуємо вирішити
НЕ ВДАЄТЬСЯ!!!
3 спосіб
У тих випадках, коли підкорене вираз нелегко подати у вигляді повного квадрата, то можна використовувати готову формулу складного радикала
Приклади:
6 етап роботи. Закріплення дослідженого матеріалу.
Перетворіть вирази, що містять подвійні радикали:
7 етап роботи. Висновок уроку.
Перетворити подвійні радикали можна так:
- виконуючи у виразі, що містить подвійні радикали, алгебраїчні дії, застосувавши властивості квадратного коріння;
- наводячи підкорене вираз до повного квадрата;
- використовуючи формули складного радикалу.
8 етап роботи. Домашнє завдання.
Вдома ви перетворюєте подвійні радикали різними способами (роздати листи із завданнями).
Урок завершено. Дякую за урок!
Тема урока:
Перетворення виразів, що містять радикали.
Мета уроку:
Освітня:
Формування вміння вирішуватизавдання перетворення виразів, містять радикали;
закріпити поняття якості кореняn-ой;
сприяти вдосконаленню вмінь та навичок з роботи вMicrosoftOfficeExcelпри обробці інформації з виробництва.
Розвиваюча:
розвиток розумових уміння: структурувати об'єкти (виділяти складові об'єкта і розташовувати їх в ієрархічному вигляді).
розвивати творче (продуктивне) мислення (у процесі складання ребуса),
Виховна:
виховання загальної та інформаційної культури, працьовитості, посидючості, терпіння, дбайливого ставлення до комп'ютерної техніки, прищеплення учням навичок самостійності у роботі.
Тип уроку: систематизація знань
Вигляд уроку:проблемний
Методичні прийоми:наочно – ілюстративний: ребус, комп'ютерне тестування, практичний: вибіркове рішення прикладів, завдання виробничої спрямованості
Обладнання та наочні засоби навчання: комп'ютерний клас з ОС Windows XP та пакетом програм Microsoft Office 2003, мультимедійний проектор, презентація, комп'ютерний тест, роздатковий матеріал (ребус).
Міжпредметні зв'язки:математика-інформатика-виробниче навчання.
Хід уроку:
I . Організаційний момент: Підготовка учнів до уроку
(перевірка відсутніх на уроці, наявність зошитів), повідомлення теми та цілей
уроку. Слайд1,2
Мотивація.
II .Актуалізація опорних знань:
2.1 Фронтальне опитування:
2.2.1 Що таке радикал? Слайд 5.
2.2.3Перелічіть:
а) властивості кореня n-ого ступеня. Слайд 6.
б) корінь із дробу. Слайд7.
в) Вилучення кореня з кореня. Слайд 8.
г) основна властивість кореня. Слайд 9.
III . Практична робота.
Розв'яжіть приклади. За відповіддю у прикладі виберіть відповідну літеру в ребусі, запишіть відповідь у таблицю. Отриманий термін "----" - організована послідовність дій.
V . Підбиття підсумків уроку:
Сьогодні під час уроку ми з вами підтвердили слова російського вченого М.В. Ломоносова
“ Нехай хтось спробує викреслити з математики ступеня, і він побачить, що без них далеко не поїдеш”.(М.В.Ломоносов) . Без радикалів неможливо обчислити витрати електроенергії по предприятию.А навчаючись у цьому ліцеї за фахом «Оператор ЕОМ» та отримуючи під час уроків виробничого навчання інформацію про роботу на обчислювальної - технікою ви можете обробити будь-яку інформацію, користуючись інформаційними технологіями. Тому слова Натан Ротшильд «Хто володіє інформацією, володіє світом» є дуже актуальними під час роботи за вашою професією на будь-якому підприємстві чи заводі.
Виставлення оцінок за урок.
V .Домашнє завдання:
Схожі статті
