З давніх-давен людей серйозно цікавило питання про те, як зручніше всього порівняти величини, виражені в різних значеннях. І справа тут не лише у природній допитливості. Людина найдавніших земних цивілізацій надавала цій досить непростій справі суто прикладне значення. Коректно виміряти землю, визначити вагу продукту на ринку, розрахувати необхідне співвідношення товарів при бартері, визначити правильну норму винограду при заготівлі вина - ось лише дещиця завдань, які часто спливали в і без того нелегкому житті наших предків. Тому малоосвічені і неписьменні люди при необхідності порівняти величини йшли за порадою до своїх досвідченіших товаришів, а ті нерідко брали за таку послугу відповідну винагороду, і досить непогану, до речі.
Що можна порівнювати
Нині цьому заняття також приділяється чимала роль процесі вивчення точних наук. Всім, звичайно, відомо, що порівнювати необхідно однорідні величини, тобто яблука – з яблуками, а буряки – з буряками. Нікому й на думку не спаде спробувати виразити градуси Цельсія за кілометри або кілограми у децибелах, зате довжину удава у папугах ми знаємо з самого дитинства (для тих, хто не пам'ятає: в одному удаві – 38 папуг). Хоча папуги теж бувають різні, і насправді довжина удава відрізнятиметься залежно від підвиду папуги, але це вже деталі, в яких ми спробуємо розібратися.
Розмірності
Коли в завданні зазначено: "Порівняй значення величин", необхідно ці самі величини привести до одного знаменника, тобто висловити в одних і тих же значення для зручності порівняння. Зрозуміло, що порівняти значення, виражене в кілограмах, зі значенням, вираженим у центнерах або в тоннах, для багатьох з нас не складе особливих труднощів. Однак існують однорідні величини, які можна виразити в різних розмірностях і, більше того, в різних системах вимірювання. Спробуйте, наприклад, порівняти величини кінематичної в'язкості і визначити, яка рідина є більш в'язкою в сантистоксах і квадратних метрах в секунду. Не виходить? І не вийде. Для цього потрібно обидва значення відобразити в одних і тих же величинах, а вже за числовим значенням визначити, яке з них перевершує суперника.
Система виміру
Щоб зрозуміти, які величини можна порівнювати, спробуємо згадати існуючі системи виміру. Для оптимізації та прискорення розрахункових процесів у 1875 році сімнадцятьма країнами (у тому числі Росією, США, Німеччиною та ін.) було підписано метричну конвенцію та визначено метричну систему заходів. Для розробки та закріплення еталонів метра та кілограма було засновано Міжнародний комітет заходів та терезів, а в Парижі облаштовано Міжнародне бюро мір та терезів. Ця система згодом еволюціонувала до Міжнародної системи одиниць, СІ. В даний час ця система прийнята більшістю країн у галузі технічних розрахунків, у тому числі і тими країнами, де традиційно у повсякденному житті використовуються національні (наприклад, США та Англія).
СГС
Однак паралельно із загальноприйнятим стандартом еталонів розвивалася й інша, менш зручна система СГС (сантиметр-грам-секунда). Вона була запропонована в 1832 німецьким фізиком Гауссом, а в 1874 модернізована Максвеллом і Томпсоном, в основному в галузі електродинаміки. У 1889 році було запропоновано більш зручну систему МКС (метр-кілограм-секунду). Порівняння предметів за величиною еталонних значень метра та кілограма для інженерів набагато зручніше, ніж використання їх похідних (санти-, мілі-, деци- та ін). Однак дана концепція також не знайшла масового відгуку в серцях тих, для кого вона призначалася. У всьому світі активно розвивалася і використовувалася тому розрахунки в СГС проводили все рідше, а після 1960 року, з введенням системи СІ, СГС взагалі практично вийшла з вживання. В даний час СГС реально застосовують на практиці лише при розрахунках у теоретичній механіці та астрофізиці, і то через простіший вид запису законів електромагнетизму.
Покрокова інструкція
Докладно розберемо приклад. Допустимо, завдання звучить так: "Порівняйте величини 25 т і 19570 кг. Яка з величин більше?" Що потрібно зробити насамперед, це визначити, в яких величинах у нас задані значення. Отже, перша величина у нас задана у тоннах, а друга – у кілограмах. На другому кроці ми перевіряємо, чи не намагаються ввести в оману укладачі завдання, намагаючись змусити порівнювати різнорідні величини. Бувають і такі завдання-пастки, особливо у швидких тестах, де на відповідь до кожного питання дається 20-30 секунд. Як ми бачимо, значення однорідні: і в кілограмах, і в тоннах у нас вимірюється маса та вага тіла, тож другу перевірку пройдено з позитивним результатом. Третій крок, переводимо кілограми на тонни або, навпаки, тонни - на кілограми для зручності порівняння. У першому варіанті виходить 25 та 19,57 тонн, а у другому: 25 000 та 19 570 кілограм. І тепер можна зі спокійною душею порівняти величини цих значень. Як видно, перше значення (25 т) в обох випадках більше, ніж друге (19 570 кг).
Пастки
Як згадувалося вище, сучасні тести містять дуже багато завдань-обманок. Це необов'язково розібрані нами завдання, пасткою може виявитися досить невинне на увазі питання, особливо таке, де напрошується цілком логічна відповідь. Однак підступність, як правило, криється в деталях або маленькому нюансі, які укладачі завдання намагаються всіляко замаскувати. Наприклад, замість вже знайомого вам з розібраних завдань із постановкою питання: "Порівняй величини там, де це можливо" - укладачі тесту можуть просто попросити вас порівняти зазначені величини, а самі величини вибрати вражаюче схожі один на одного. Наприклад, кг*м/с 2 та м/с 2 . У першому випадку це сила, що діє на об'єкт (ньютони), а в другому - прискорення тіла, або м/с 2 та м/с, де вас просять порівняти прискорення зі швидкістю тіла, тобто абсолютно різнорідні величини.
Складні порівняння
Проте дуже часто у завданнях наводять два значення, виражені у різних одиницях виміру й у різних системах обчислення, а й відмінні друг від друга за специфікою фізичного сенсу. Наприклад, у постановці задачі сказано: "Порівняй значення величин динамічної та кінематичної в'язкостей і визнач, яка рідина більш в'язка". При цьому значення вказані в одиницях СІ, тобто м2 /с, а динамічної - в СГС, тобто в пуазах. Як вчинити у цьому випадку?
Для вирішення таких завдань можна скористатися наданою вище інструкцією з невеликим її доповненням. Визначаємося, в якій із систем працюватимемо: нехай це буде загальноприйнята серед інженерів. Другим кроком ми також перевіряємо, чи не пастка це? Але в цьому прикладі теж все чисто. Ми порівнюємо дві рідини за параметром внутрішнього тертя (в'язкості), тому обидві величини однорідні. Третім кроком переводимо з пуазів у паскаль-секунду, тобто у загальноприйняті одиниці системи СІ. Далі переводимо кінематичну в'язкість в динамічну, помножуючи її на відповідне значення густини рідини (табличне значення), і порівнюємо отримані результати.
Поза системою
Існують також позасистемні одиниці виміру, тобто одиниці, що не увійшли до СІ, але згідно з результатами рішень скликання Генеральних конференцій з мір і ваг (ГКВМ), допустимі для спільного використання з СІ. Порівнювати такі величини між собою можна тільки при їх приведенні до загального вигляду стандарту СІ. До позасистемних відносяться такі одиниці, як хвилина, година, доба, літр, електрон-вольт, вузол, гектар, бар, ангстрем та багато інших.
З курсу математики нам відомі дії, які можна робити над числами. Складати, віднімати та порівнювати в математиці можна будь-які числа. Такі дії над фізичними величинами можна проводити тільки в тому випадку, якщо вони однорідні, тобто представляють одну й ту саму фізичну величину.
Наприклад:
4 м + 3 м = 7 м;
9 кг – 5 кг = 4 кг;
30 > 10 с.
У всіх трьох випадках ми робили дії над однорідними фізичними величинами. Складали довжину з довжиною, віднімали з маси масу, порівнювали проміжок часу з проміжком часу. Смішно і безглуздо було б складати 4 м і 5 кг або віднімати 30 з 9 кг!
А ось множити та ділити можна не тільки однорідні, а й різні фізичні величини. Наприклад:
- 10 кг ÷2 кг = 5. Тут діляться не тільки числові значення (10 ÷ 2 = 5), а й одиниці фізичних величин (кг ÷ кг = 1). Результат показує, у скільки разів одна фізична величина (маса) більша за іншу.
- 2 м. 4 м = 8 м2. Помножуються числові значення (2.4 = 8) та одиниці фізичних величин (м. м = м2). В результаті множення двох фізичних величин - довжин l 1 = 2 м і l 2 = 4 м - вийшла нова фізична величина - площа S = 8 м 2 .
- 10 м ÷ 2 с = 5 м/с. В результаті розподілу двох різних фізичних величин - довжини l = 10 м на проміжок часу t = 2 с, вийшла нова фізична величина 5 м/c. Її числове значення одно 5, а одиниця нової фізичної величини - м/c. Ця фізична величина v = 5 м/c – швидкість.
- 10 м ÷ 2 с = 20 м ÷ 4 с. Знак рівності відноситься не тільки до числових значень, а й до одиниць. Знак рівності поставити не можна, якщо порівняти 10 м ÷ 2 с та 20 м ÷ 4 хв. Тут м/с ≠ м/хв.
Подумайте та дайте відповідь
- Що необхідно враховувати при складанні та відніманні фізичних величин? Яким буде результат їхнього складання та віднімання?
- Які фізичні величини порівнювати між собою? Наведіть приклади.
- Чи можна ділити та множити різні фізичні величини? Що вийде?
- Визначте значення якої фізичної величини вийде в результаті:
- 40 - 10 с;
- 40 c ÷ 10 c;
- 3 м. 4 м. 2 м;
- 120 км ÷ 2 год.
Цікаво знати!
Великі одиниці часу – рік і добу – дала нам сама природа. Але година, хвилина та секунда з'явилися завдяки людині.
Прийняте нині поділ діб перегукується з глибокої давнини. У Вавилоні застосовувалася не десяткова, а шістдесяткова система числення. Шістдесят ділиться без залишку на 12, звідси у вавилонян розподіл доби на 12 рівних частин. У Стародавньому Єгипті було введено поділ доби на 24 години. Пізніше з'явилися хвилини та секунди. Те, що в 1 годині 60 хвилин, а в 1 хвилині 60 секунд - також спадщина шістдесяткової системи Вавилону.
Визначення одиниць часу є дуже важливим. Основна одиниця часу – секунда – спочатку була введена як 1/86400 частка доби, а потім через непостійність доби – як певна частка року. В даний час стандарт секунди пов'язаний з частотою випромінювання атомів цезію.
Довжина, площа, маса, час, обсяг – величини. Початкове знайомство із нею відбувається у початковій школі, де величина поруч із числом є провідним поняттям.
Величина – це особлива властивість реальних об'єктів чи явищ, і особливість у тому, що це властивість можна виміряти, тобто назвати кількість величини. Величини, які виражають одну і ту ж властивість об'єктів, називаються величинами одного родуабо однорідними величинами. Наприклад, довжина столу та довжина на кімнати – це однорідні величини. Величини - довжина, площа, маса та інші мають ряд властивостей.
1) Будь-які дві величини одного роду можна порівняти: вони або рівні, або одна менше (більше) іншої. Тобто, для величин одного роду мають місце відносини «рівно», «менше», «більше» і для будь-яких величин і справедливе одне і тільки одне із відносин: Наприклад, ми говоримо, що довжина гіпотенузи прямокутного трикутника більша, ніж будь-який катет даного трикутника; маса лимона менша, ніж маса кавуна; Довжини протилежних сторін прямокутника рівні.
2) Величини одного роду можна складати, в результаті додавання вийде величина того ж роду. Тобто. для будь-яких двох величин а та b однозначно визначається величина a+b, її називають сумоювеличин а та b. Наприклад, якщо a-довжина відрізка AB, b – довжина відрізка ВС (рис.1), то довжина відрізка АС є сума довжин відрізків АВ і ВС;
3) Величину множать на дійснечисло, отримуючи в результаті величину такого ж роду. Тоді для будь-якої величини і будь-якого неотрицательного числа x існує єдина величина b = x а, величину b називають творомвеличини а число x. Наприклад, якщо a – довжину відрізка АВ помножити на
x = 2, то отримаємо довжину нового відрізка АС. (Рис.2)
4) Величини одного роду віднімають, визначаючи різницю величин через суму: різницею величин а і b називається така величина, що а = b + c. Наприклад, якщо а - Довжина відрізка АС, b - Довжина відрізка AB, то довжина відрізка ВС є різниця довжин відрізків і АС і АВ.
5) Величини одного роду ділять, визначаючи приватне через добуток величини на число; приватним величин а і b-називається таке невід'ємне дійсне число х, що а = х b. Найчастіше це число називають відношенням величин а і b і записують у такому вигляді: a/b = х.Наприклад, відношення довжини відрізка АС до довжини відрізка АВ дорівнює 2. (Рис №2).
6) Відношення «менше» для однорідних величин транзитивно: якщо А<В и В<С, то А<С. Так, если площадь треугольника F1 меньше площади треугольника F2 площадь треугольника F2 меньше площади треугольника F3, то площадь треугольника F1 меньше площади треугольника F3.Величины, как свойства объектов, обладают ещё одной особенностью – их можно оценивать количественно. Для этого величину нужно измерить. Измерение – заключается в сравнении данной величины с некоторой величиной того же рода, принятой за единицу. В результате измерения получают число, которое называют численным значением при выбранной единице.
p align="justify"> Процес порівняння залежить від роду аналізованих величин: для довжин він один, для площ - інший, для мас-третій і так далі. Але яким би не був цей процес, у результаті виміру величина набуває певного чисельного значення при обраній одиниці.
Взагалі, якщо дана величина і обрана одиниця величини e, то результаті вимірювання величини а знаходять таке дійсне число x, що а=x e. Це число x називають чисельним значенням величини при одиниці е. Це можна записати так: х=m (a) .
Відповідно до визначення будь-яку величину можна представити у вигляді добутку деякого числа та одиниці цієї величини. Наприклад, 7 кг = 7∙1 кг, 12 см =12∙1 см, 15год =15∙1 год. Використовуючи це, і навіть визначення множення величини на число, можна обгрунтувати процес переходу від однієї одиниці величини до інший. Нехай, наприклад, потрібно виразити 5/12 год за хвилини. Так як, 5/12ч = 5/12 60хв = (5/12 ∙ 60)хв = 25хв.
Величини, які цілком визначаються одним чисельним значенням, називаються скалярнимивеличинами. Такими, наприклад, є довжина, площа, обсяг, маса та інші. Крім скалярних величин, математики розглядають ще векторні величини. Для визначення векторної величини необхідно вказати як її чисельне значення, а й напрямок. Векторними величинами є сила, прискорення, напруженість електричного поля та інші.
У початковій школі розглядаються лише скалярні величини, причому такі, чисельні значення яких є позитивними, тобто позитивними скалярними величинами.
Вимір величин дозволяє звести порівняння їх до порівняння чисел, операції над величинами до відповідних операцій над числами.
1/. Якщо величини а і b виміряні за допомогою одиниці величини e, то відносини між величинами a і b будуть такими ж, як і відносини між їх чисельними значеннями, і навпаки.
A = b m (a) = m (b),
A>b m (a)>m (b),
A
Наприклад, якщо маси двох тіл такі, що а=5 кг, b=3 кг, можна стверджувати, що маса а більше маси b оскільки 5>3.
2/ Якщо величини а і b виміряні за допомогою одиниці величини e, то щоб знайти чисельне значення суми a+b достатньо скласти
чисельні значення величин а та b. а + b = m (a + b) = m (a) + m (b). Наприклад, якщо а = 15 кг, b = 12 кг, то а + b = 15 кг + 12 кг = (15 +12) кг = 27 кг
Якщо величини а і b такі, що b = x а, де x -позитивне дійсне число, і величина а, виміряна за допомогою одиниці величини e, то щоб знайти чисельне значення величини b при одиниці e, достатньо число x помножити на число m (а): b = x a m (b) = x m (a).
Наприклад, якщо маса а в 3 рази більша за масу b, тобто. b = За та а = 2 кг, то b = За = 3 ∙ (2 кг) = (3 ∙ 2) кг = 6 кг.
Розглянуті поняття – об'єкт, предмет, явище, процес, його величина, чисельне значення величини, одиниця величини – треба вміти вичленяти у текстах та завданнях.
Наприклад, математичний зміст пропозиції «Купили 3 кілограми яблук» можна описати так: у реченні розглядається такий об'єкт, як яблука, та його властивість – маса; для виміру маси використовували одиницю маси – кілограм; в результаті виміру отримали число 3-чисельне значення маси яблук при одиниці маси кілограм.
Розглянемо визначення деяких величин та їх вимірів.
Безумовно, кожен із нас на рівні найзагальнішого уявлення чудово розуміє, що таке величина. Величина - це довжина, обсяг, маса чи якась інша кількісна характеристика предмета чи явища. Що означає величина? Якщо ми чуємо, що град, що випав, був величиною з волоський горіх, то це означає, що обсяг однієї градини був приблизно дорівнює обсягу волоського горіха.
Але якщо нас запитати, що таке скалярна величина, випадкова величина, відносна величина, чи зможемо ми так само легко відповісти на це питання?
Спробуймо розібратися у всьому по порядку.
Що таке фізична величина
Фізична величина - це властивість об'єкта, явища чи процесу, що може бути охарактеризовано кількісно. Наприклад, вода, налита в графин, характеризуватиметься певним об'ємом, масою, щільністю і таке інше.
Фізична величина має числове значення із зазначенням одиниць, у яких вироблялося її вимір. Наприклад, на залізничну станцію прибули два контейнери. Маса одного з них складає 1,5 тонни, а маса іншого – 1 500 кг. Який із них важчий? Як ви вже здогадалися, насправді маса обох контейнерів однакова. Просто зі зміною одиниць виміру змінилося числове значення маси.
Випадкова величина
Випадкова величина – це термін математичної теорії ймовірності. Випадкова величина набуває в ході будь-якого досвіду конкретного значення. Але це значення не може бути точно відоме заздалегідь. Приклади випадкових величин:
- кількість влучень із 5 пострілів;
- кількість точок на верхній грані гральної кістки, яка випаде після підкидання її вгору;
- Температура повітря на завтра.
Скалярні та векторні величини
Скалярна величина - це величина, яка має лише числове значення. Приблизні скалярних величин - час, маса, температура тощо.
Однак деякі фізичні величини (швидкість, сила, прискорення), крім числової характеристики, мають ще й напрямок. Такі величини називають векторними. Векторну величину, наприклад, ту саму швидкість, також можна виміряти. Але числове значення (модуль) векторної величини описуватиме її не повністю, а лише частково. Щоб охарактеризувати векторну величину повністю, треба вказати напрямок її дії у просторі.
Номінальні та реальні величини
Поняття "номінальна" та "реальна" величина використовуються в економіці. Номінальна величина – це економічний показник, виражений у грошових одиницях. Наприклад, ваша номінальна зарплата – це те, скільки рублів ви заробили за минулий місяць. А реальна зарплата – це те, скільки товарів та послуг ви реально можете придбати за свою номінальну зарплатню. Якщо в країні більша інфляція, то номінальна зарплата може зростати, а реальна падати.
Постійні та змінні величини
Постійна величина - це величина, яка у заданій системі має тільки одне конкретне та незмінне значення. Приклад – маса тіла. Значення змінної величини може змінюватись в залежності від різних факторів. Скажімо, швидкість одного і того ж автомобіля на одній трасі може змінюватися в залежності від бажання водія.
Абсолютні та відносні величини
Абсолютними та відносними величинами оперує статистика. Абсолютна величина виявляється у конкретних одиницях чогось. Наприклад, споживання товарів та послуг на душу населення виражається в рублях чи доларах. Відносна величина – це показник порівняння абсолютних величин. Наприклад, можна визначити рівень споживання росіян сьогодні порівняно з аналогічним показником минулого року. Можна подивитися, як за цим показником росіяни виглядають щодо громадян Індії чи Норвегії.
Середня величина
Середня величина – це статистичний показник, який характеризує типове значення будь-якої ознаки для однорідної групи. Хоча всі працівники того самого підприємства отримують різну зарплату, можна обчислити і середню заробітну плату на даному підприємстві.
Середній показник іноді має більш важливе значення, ніж конкретний. Якщо ви 11 місяців отримували по 20 000 рублів, а в грудні заробили 80 000, це ще не означає, що ви впритул підійшли до заробітку в 80 000 рублів на місяць. Ваша середня зарплата за рік – 25 000 на місяць.
Однак середня величина може і вводити в оману. Якщо ви з'їли 2 котлети, а я - жодної, то в середньому ми з вами поїли по одній котлеті. Але для мене це не має значення. Адже ви стали ситі, а я залишився голодним.
Величини найчастіше використовують у фізиці (цій науці присвячений спеціальний розділ) та математиці (розділ).
Схожі статті
